Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función f(x)=e^x es f'(x)=e^x ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de f ?
SOLUCIÓN. Para responder a esta pregunta, recurrimos a la propiedad general que expresa la relación entre la derivada de la función directa f'(x), que podemos notar también de la forma y'_x ( por comodidad de cálculo ) -- en la que x tiene el papel de variable independiente e y el de variable dependiente --, y la derivada de la función recíproca (f^{-1}(x))', que notaremos también de la forma x'_y, en la que y tiene el papel de variable independiente e x el de variable dependiente ) y'_x=\dfrac{1}{x'_y} \; \quad \quad (1)
Como la función recíproca de f(x)=e^x es f^{-1}(x)=\ln\,x, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando y=\ln\,x
escribiremos su recíproca de la forma x=e^y \; \quad \quad (2)
Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que x'_y=e^y \; \text{, por la información del enunciado}
Y, por la propiedad (1), tenemos y'_x=\dfrac{1}{e^y}
Ahora bien, teniendo en cuenta (2), y'_x=\dfrac{1}{x}
Es decir, (f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{x}
Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función f(x)=\sin(x) es f'(x)=\cos(x) ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de f ?
SOLUCIÓN. Procederemos como en el caso anterior. Como la función recíproca de f(x)=\sin(x) es f^{-1}(x)=\arcsin(x), se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando y=\arcsin(x)\,,\quad 0 \le x \le \pi
su recíproca es x=\sin(y) \; \quad \quad (3)
Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que x'_y=\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}
( por la información del enunciado, y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría ). Y, por la propiedad general, y'_x=\dfrac{1}{x'_y}, tenemos y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}
Ahora bien, teniendo en cuenta (3), y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Es decir, (f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\square
