Función derivada de algunas funciones recíprocas

Nota preliminar ( Acerca de las funciones recíprocas ). Recordemos que una función inyectiva ( a la que denominaremos directa ) tiene asociada una función recíproca, que es única. Y que una ( directa ) y otra ( recíproca ) son mutuamente recíprocas.

Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=e^x$ es $f'(x)=e^x$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?

SOLUCIÓN. Para responder a esta pregunta, recurrimos a la propiedad general que expresa la relación entre la derivada de la función directa $f'(x)$, que podemos notar también de la forma $y'_x$ ( por comodidad de cálculo ) -- en la que $x$ tiene el papel de variable independiente e $y$ el de variable dependiente --, y la derivada de la función recíproca $(f^{-1}(x))'$, que notaremos también de la forma $x'_y$, en la que $y$ tiene el papel de variable independiente e $x$ el de variable dependiente ) $$y'_x=\dfrac{1}{x'_y} \; \quad \quad (1)$$

Como la función recíproca de $f(x)=e^x$ es $f^{-1}(x)=\ln\,x$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\ln\,x$$ escribiremos su recíproca de la forma $$x=e^y \; \quad \quad (2)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=e^y \; \text{, por la información del enunciado}$$ Y, por la propiedad (1), tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{e^y}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (2), $$y'_x=\dfrac{1}{x}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{x}$$

Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=\sin(x)$ es $f'(x)=\cos(x)$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?

SOLUCIÓN. Procederemos como en el caso anterior. Como la función recíproca de $f(x)=\sin(x)$ es $f^{-1}(x)=\arcsin(x)$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\arcsin(x)\,,\quad 0 \le x \le \pi$$ su recíproca es $$x=\sin(y) \; \quad \quad (3)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$$ ( por la información del enunciado, y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría ). Y, por la propiedad general, $y'_x=\dfrac{1}{x'_y}$, tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (3), $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$\square$

Representación de funciones empleando transformaciones geométricas

Ejercicos resueltos del examen de recuperación de los temas 1,2 y 3 ( 08/01/2016 ) de 1.º de Bachillerato CCSS

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ]

Errores de aproximación

ENUNCIADO. Se aproxima el número $x=\sqrt{5}$ por $\bar{x}=2,24$. Se pide:
a) El error absoluto, $E$
b) El error relativo, $e$
c) Una cota del error absoluto, $\Delta$
d) Una cota del error relativo, $\varepsilon$

SOLUCIÓN.

Matemática financiera

ENUNCIADO. Un cierto capital se quiere aumentar en un $15\,\%$. Para ello, se coloca al $4\,\%$ de interés ( compuesto ) anual, liquidando los intereses cada cuatro meses. ¿ Cuánto tiempo debe permanecer depositado dicho capital ?

SOLUCIÓN.

Matemática financiera. Amortización de un préstamo

ENUNCIADO. Se desea comprar un piso cuyo precio es de $400\,000,00$ euros. Se quiere pagar de la siguiente manera: con unos ahorros, un pago inicial del $25\,\%$ del total; y, para pagar la cantidad restante, se pide un préstamo hipotecario a un banco, al $3\,\%$ de interés anual, a pagar en cuotas bimensuales durante $20$ años. Calcular el valor de dichas cuotas. ¿ Cuál es la TAE ?.

SOLUCIÓN.

Ecuaciones con cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir a multiplicar por un múltiplo común de los términos de la ecuación, ya que, así, llegaremos a una ecuación equivalente con términos polinómicos; para ello, calculamos el polinomio mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores $$\text{mcm}(x-3\,,\,x+3\,,\,x^2-9)=(x-3)(x+3)$$ ya que $x-3$ y $x+3$ son polinomios primos y $x^2-9=(x-3((x+3)$
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por este polinomio ( término a término ), $$(x-3)(x+3)\dfrac{x}{x-3}-(x-3)(x+3)\dfrac{x}{x+3}=(x-3)(x+3)\,\dfrac{1}{x^2-9}$$ y cancelando factores iguales en cada término $$x(x+3)-x(x-3)=1$$ que a su vez equivale a $$x^2+3x-x^2+3x=1$$ luego $$6x=1$$ y por tanto $$x=\dfrac{1}{6}$$ $\square$

Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, compatible y determinado: $$\left\{\begin{matrix} x&+&y&-&z&=&1 \\ x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&1 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.

Factorización de polinomios

ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$x^3+5\,x^2-x-5$$

SOLUCIÓN.