Clasificar y resolver ...

ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución )
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&0\\
x&+&2\,y&-&2\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Reduciendo el sistema por Gauss podremos saber cuál es el número de ecuaciones linealmente independientes ( es decir, el rango del sistema ). Para ello, realizamos las operaciones elementales ( combinaciones lineales ) entre ecuaciones que sean necesarias para escalonar el sistema.

Primer etapa:

las siguientes combinaciones lineales
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
$-2\,e_2 + e_1 \rightarrow e_2$
nos llevan a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

Segunda etapa:

Con la combinación lineal
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
obtenemos el escalonamiento de ceros deseado

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&{\bf 0}\cdot y&+&0 \cdot z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$


Contabilizando el número de ecuaciones ( de este sistema equivalente ) que son identicamente no-nulas, vemos que sólo son dos ( la primera y la segunda ), esto es, el rango del sistema, $r$, es $2$. Como estas dos ecuaciones son compatibles entre sí, el sistema es compatible ( tiene solución ); y, teniendo en cuenta que el número de incógnitas, $n$, que es $3$, es menor que el rango, concluimos que el sistema es compatible indeterminado ( ha de tener infinitas soluciones ). Veamos a continuación cómo están ligadas estas infinitas soluciones; para ello, debemos entender que de las $3$ incógnitas ( variables ), $n-r$ deben tomar el papel de variables secundarias, por lo que hay $3-2=1$ variable secundaria, cuyos valores en la solución los podremos elegir libremente; y, $r=2$ variables principales. Elijamos ahora una de las tres variables como secundaria ( da lo mismo cuál de ellas escogemos ): pongamos que $z$; y, para remarcar su carácter ( de variable secundaria ), la denotaremos por $\lambda$ ( es decir, designamos $z:=\lambda$ ). Hecho esto, escribamos el sistema de ecuaciones equivalente ( y reducido por Gauss ):

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&\lambda&=&1\\
&&3\,y&-&3\,\lambda&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

donde hemos ya prescindido de la última ecuación, que es trivial ( no aporta información alguna ). Trasladando al segundo miembro los términos que dependen de $\lambda$, llegamos a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&=&1+\lambda\\
&&3\,y&=&1+3\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$

Despejando ahora $y$ de la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{1}{3}+\lambda$$ y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos la forma que debe tener $x$ ( en función de $\lambda$ ) $$2\,x+\dfrac{1}{3}+\lambda=1+\lambda$$ es decir $$2\,x=1-\dfrac{1}{3}+\lambda-\lambda$$ simplificando y despejando $x$ del primer miembro $$x=\dfrac{1}{3}$$ con lo cual concluimos que la solución del sistema de ecuaciones son las infinitas ternas ( por ternas de números podemos entender puntos en el espacio tridimensional ) $$\{(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}+\lambda,\lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$

Nota: Como cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos la solución como los infinitos puntos de una recta ( que es el resultado de la intersección de los tres planos ). El que estos infinitos puntos alineados dependan de un parámetro, encaja con la noción de que una recta tiene un grado de libertad ( geométrica ).
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Resolver la ecuación trascendente ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $x^{x^2-1}=x^3$

SOLUCIÓN. Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,(x^{x^2-1})=\ln\,(x^3)$$ y por las propiedades de los logaritmos $$(x^2-1)\,\ln\,x=3\,\ln\,x$$ agrupando en un sólo miembro $$(x^2-1)\,\ln\,x-3\,\ln\,x=0$$ y por la propiedad distributiva $$(\ln\,x)\, \left( (x^2-1)-3 \right)=0$$ esto es $$(\ln\,x) \left( x^2-4 \right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\ln\,x = 0 \Leftrightarrow x=1 & \\
\\
\text{ó}
\\
x^2-4 = 0 \Leftrightarrow x=\pm\,2 & \\
\end{matrix}\right.$$ encontrando, por tanto, tres valores como solución de dicha ecuación trascendente: $\{-2\,,\,1\,,\,2\}$
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Resolver la ecuación ...

ENUNCIADO. Resolver al siguiente ecuación algebraica $$x^4-6x^2+8=0$$

SOLUCIÓN. Procedemos, encontrar las raíces del polinomio $$P(x)=x^4-6x^2+8$$
empezando con las posibles raíces enteras, que sólo podemos encontrarlas en el conjunto $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\}$, por estos los divisores del término independiente. Probando estos números ( empleando el teorema del resto o bien sustituyendo en la expresión del polinomio ) vemos que las únicas raíces enteras son $-2$ y $2$; en efecto, $P(-2)=0$ y $P(2)=0$, luego dos factores polinómicos de $P(x)$ son $(x-2)$ y $(x+2)$. Dividiendo ahora $P(x)$ entre $(x-2)(x+2)$ se obtiene como cociente el polinomio $x^2-2$, polinomio de segundo grados cuyas raíces son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$. No pueden haber más raíces del polinomio $P(x)$ ya que es de cuarto grado y hemos encontrado cuatro raíces. De todo esto podemos concluir que la solución pedida viene dado por el conjunto de números $$\{-\sqrt{2},\sqrt{2},-2,2\}$$
{\sc Comentario.} Otra forma en que podríamos haber resuelto la ecuación propuesta ( que es bicuadrada ) consistiría en hacer la trasformación $t:=x^2$, llegando a la ecuación $t^2-6t^2+8=0$; resolviéndola por el procedimiento habitual de las ecuaciones de segundo grado y, deshaciendo la transformación ( $x=\sqrt{t}$ ) con los dos valores encontrados para $t$, obteniendo las cuatro raíces. Sin embargo, cabe decir que no todas las ecuaciones de grado $4$ son bicuadradas y por tanto esto no constituye un procedimiento general.
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Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo ...

ENUNCIADO:
Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo del número $\pi=3,14159 \ldots$ $$\pi \approx 3,1$$

SOLUCIÓN:
Al aproximar por redondeo hasta la cifra de las décimas ( $n=1$ ) y que todas las cifras del resultado ( la de las unidades y la de las décimas ) significativas sean correctas, debemos tomar una cota de error absoluto, $\Delta$, igual a $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$, que en nuestro caso es $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$. Por tanto, la cota de error relativo correspondiente es $\varepsilon = \dfrac{0,05}{3,1} \approx 0,016 \prec 0,02$; es decir, haciendo esta aproximación ( $\pi \approx 3,1$ ), podemos garantizar una precisión que caracterizamos con un error relativo del $2\,\%$

NOTA: Observemos que ya no podemos garantizar que al realizar la aproximación con una cifra significativa más ( manteniendo la misma cota de error absoluto ) ésta última cifra sea también correcta.

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Resolver la siguiente inecuación

ENUNCIADO:
Encontrar el conjunto de números reales que cumplen la siguiente desigualdad $$(x-1)(x+1) \ge 1$$

SOLUCIÓN:
$$(x-1)(x+1) \ge 1 \Leftrightarrow x^2-1 \ge 1 \Leftrightarrow x^2 \ge 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le -|\sqrt{2}| \\ \text{ó} \\ x \ge |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$ luego el intervalo solución viene dado por la unión de las siguientes semirrectas $$S=(-\infty\,,\,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}\,,\,+\infty)$$ $\square$

Determinar el intervalo de la recta real que ...

ENUNCIADO:
Determinar el intervalo de la recta real que representa la solución de la siguiente inecuación $$| x+1 | \prec 2 $$

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, podemos escribir
$$ | x+1 | \prec 2 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
x+1 \prec 2 & \text{si} & x+1 \succ 0 && (1)\\
0 \prec 2 & \text{si} & x+1 = 0 && (2)\\
-(x+1) \prec 2 & \text{si} & x+1 \prec 0 && (3)\\
\end{matrix}\right.$$

Es claro que de (2) no extraemos información, pero sí de (1): $x + 1 \prec 2 \Leftrightarrow x \prec 1 $; y, también, de (3): $-(x+1) \prec 2 \Leftrightarrow x+1 \succ -2 \Leftrightarrow x \succ -3$. Así, pues, concluimos que el intervalo pedido es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$
-oOo-
Otra forma de resolver este problema es la siguiente. Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad $| x+1 | \prec 2 $, llegamos a $$(x+1)^2 \prec 4$$ El primer miembro de esta inecuación representa los valores de la función $f(x)=(x+1)^2$ ( su trazo en un diagrama cartesiano es una parábola cuyo vértice se encuentra una unidad a la izquierda del origen de coordenadas ), cuyos valores de función son positivos para todo $x$; como dichos valores de función deben ser menores que $4$ ( según la desigualdad que expresa la inecuación), procedemos a encontrar las abscisas críticas ( cuyas ordenadas tienen valor $4$ ): $$(x+1)^2=4 \Leftrightarrow (x+1)=\pm 2 \Leftrightarrow x=-1 \pm 2 = \left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-3 \\
\end{matrix}\right.$$

Entonces, todos los valores mayores que $-3$ y menores que $1$ satisfacen la condición pedida, luego el intervalo solución es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$.

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Se desea cortar un panel de madera ...

ENUNCIADO:
Se desea cortar un panel de madera, de forma cuadrada, de modo que su área sea de $10\,000 \pm 500 \; \text{cm}^2$. ¿Qué margen de error debe tener la longitud del lado?

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que el lado $l$ del cuadrado es igual a $\sqrt{A}$, donde $A$ representa el área del mismo, vemos que el mayor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000+500} \approx 102 \, \text{cm}$, mientras que el menor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000-500} \approx 97 \, \text{cm}$; entonces el valor central del intervalo $(102\,,\,97)$ es $\dfrac{102+97}{2} \approx 100 \, \text{cm}$., y la amplitud de dicho intervalo ( de error o de incertidumbre ) es igual a $102-97$, luego la semi-amplitud del mismo es $\dfrac{102-97}{2} \approx 2 \, \text{cm}$. Así, pues, podemos decir que la longitud del lado ( cuando cortemos el panel ) debe ser igual a $100 \, \text{cm}$, con un margen de error ( o cota de error absoluto ) de $2\,\text{cm}$, cosa que también podemos expresar de la siguiente forma: $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
-oOo-Otra manera de resolver este problema es la siguiente. Como el área se calcula mediante un producto, $A=l\cdot l$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es: $\varepsilon_A = \varepsilon_l + \varepsilon_l$, esto es, $\varepsilon_A=2\,\varepsilon_l$. Teniendo en cuenta que $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{A}$, podemos escribir $\varepsilon_A=\dfrac{500}{10\,000} = 0,025$. Por otra parte, $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{l}$
y $l=\sqrt{A}$, luego $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{\sqrt{A}}$, con lo cual podemos escribir $0,025 = \dfrac{\Delta_l}{\sqrt{10\,000}} \Rightarrow \Delta_l = 0,025 \cdot 100 = 2,5 \approx 2$. De lo cual concluimos que $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
$\square$

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