ENUNCIADO. Suponiendo que la variación anual del IPC haya sido del $-1,2\,\%$ ( en el grupo de Vivienda ), y que el precio del alquiler mensual de un apartamento hubiese sido de $400,00$ euros al mes durante el año anterior, ¿ cuál sería el precio del alquiler de dicho apartamento durante el presente año, adecuado a la variación del IPC ?
SOLUCIÓN.
$400,00 \cdot ( 1-0,012 )=400\,00 \cdot 0,988 = 395,20$ euros al mes.
$\square$
miércoles, 18 de noviembre de 2015
Cotas de error e intervalo de error
ENUNCIADO. Se considera la siguiente operación $b=\dfrac{1000}{a}$, donde $a=0,002\pm 0,001$. Dar una cota del error absoluto y una cota del error relativo de $b$, y el intervalo de error de $b$ a partir de estas cotas.
SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que la operación es un cociente y que el numerador se considera una constante ( no afectada de error ) una cota de error relativo de $b$ es $$\epsilon_b=\epsilon_a$$ siendo $$\epsilon_a\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,001}{0,002}=\dfrac{1}{2}$$ luego, de la definición $\epsilon_b\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_b}{b}$, y siendo $b=\dfrac{1000}{0,001}=1\,000\,000$, la cota correspondiente de error absoluto de $b$ es $$\Delta_b = \epsilon_{b}\,b=\dfrac{1}{2}\cdot 1\,000\,000=500\,000 $$ Por consiguiente $$b=1\,000\,000 \pm 500\,000$$ esto es $$b \in ( 1\,000\,000-500\,000\,,\,1\,000\,000+500\,000)=(500\,000\,,\,1\,500\,000)$$
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SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que la operación es un cociente y que el numerador se considera una constante ( no afectada de error ) una cota de error relativo de $b$ es $$\epsilon_b=\epsilon_a$$ siendo $$\epsilon_a\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,001}{0,002}=\dfrac{1}{2}$$ luego, de la definición $\epsilon_b\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_b}{b}$, y siendo $b=\dfrac{1000}{0,001}=1\,000\,000$, la cota correspondiente de error absoluto de $b$ es $$\Delta_b = \epsilon_{b}\,b=\dfrac{1}{2}\cdot 1\,000\,000=500\,000 $$ Por consiguiente $$b=1\,000\,000 \pm 500\,000$$ esto es $$b \in ( 1\,000\,000-500\,000\,,\,1\,000\,000+500\,000)=(500\,000\,,\,1\,500\,000)$$
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[autoría]
Tanto por ciento (tasa) de variación
ENUNCIADO. De un tiempo a esta parte, la variación en el precio de un servicio ha sido del $-3,5\,\%$. Si antes costaba $2,00$ euros, ¿ cuánto cuesta ahora ?.
SOLUCIÓN. Denotando por $x$ la cantidad pedida y planteando la siguiente proporción $$\dfrac{100+(-3,5)}{100}=\dfrac{x}{2,00}$$ esto es $$\dfrac{96,5}{100}=\dfrac{x}{2,00}$$ de donde, despejando $x$, obtenemos $$x=\dfrac{96,5 \cdot 2}{100}=1,93 \; \text{euros}$$
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SOLUCIÓN. Denotando por $x$ la cantidad pedida y planteando la siguiente proporción $$\dfrac{100+(-3,5)}{100}=\dfrac{x}{2,00}$$ esto es $$\dfrac{96,5}{100}=\dfrac{x}{2,00}$$ de donde, despejando $x$, obtenemos $$x=\dfrac{96,5 \cdot 2}{100}=1,93 \; \text{euros}$$
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[autoría]
martes, 17 de noviembre de 2015
Resolver el siguiente problema
ENUNCIADO. La suma de un número más cinco veces el inverso de otro es 2. Por otro lado, el segundo número más el cuádruple del primero es 9. ¿ Cuáles son dichos números ?.
SOLUCIÓN. Sean $x$ e $y$ dichos números, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones ( una de las cuales no es lineal ) $$\left\{\begin{matrix}
x &+&5\cdot \dfrac{1}{y}&=&2 \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ y simplificando $$\left\{\begin{matrix}
x\,y &+&5&=&2\,y \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda y sustituyendo la expresión que obtengamos ( en función de $x$ ) en la primera ecuación llegamos a $$x\,(9-4x)+5=2\,(9-4x)$$ simplificando, sumando términos semejantes y ordenándolos $$4x^2-17x+13=0$$ cuya solución viene dada por $$x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\\
\dfrac{13}{4}
\end{matrix}\right.$$
Entonces:
Si $x=1$, $y=9-4\cdot 1=5$
Si $x=\dfrac{13}{4}$, $y=9-4\cdot\dfrac{13}{4}=-4$
Resumiendo, la solución viene dada por estas dos parejas de valores $(x,y)$: $$\{(1\,,\,5)\,,\,(\dfrac{13}{4}\,,\,-4) \}$$
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SOLUCIÓN. Sean $x$ e $y$ dichos números, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones ( una de las cuales no es lineal ) $$\left\{\begin{matrix}
x &+&5\cdot \dfrac{1}{y}&=&2 \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ y simplificando $$\left\{\begin{matrix}
x\,y &+&5&=&2\,y \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda y sustituyendo la expresión que obtengamos ( en función de $x$ ) en la primera ecuación llegamos a $$x\,(9-4x)+5=2\,(9-4x)$$ simplificando, sumando términos semejantes y ordenándolos $$4x^2-17x+13=0$$ cuya solución viene dada por $$x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\\
\dfrac{13}{4}
\end{matrix}\right.$$
Entonces:
Si $x=1$, $y=9-4\cdot 1=5$
Si $x=\dfrac{13}{4}$, $y=9-4\cdot\dfrac{13}{4}=-4$
Resumiendo, la solución viene dada por estas dos parejas de valores $(x,y)$: $$\{(1\,,\,5)\,,\,(\dfrac{13}{4}\,,\,-4) \}$$
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[autoría]
Inflación
ENUNCIADO. En el año 2011, la inflación fue del $3,2\,\%$. Al finalizar el año, ¿ a cuánto podríamos decir que equivalían $10$ euros ?
SOLUCIÓN. Recordemos que por inflación debe entenderse la disminución del valor del dinero en relación a los bienes y servicios que se pueden adquirir con él. Entonces, denotando por $x$ a la cantidad pedida, y planteando la proporción $$\dfrac{100-3,2}{100}=\dfrac{x}{10}$$ obtenemos $$x=9,68 \; \text{euros}$$
SOLUCIÓN. Recordemos que por inflación debe entenderse la disminución del valor del dinero en relación a los bienes y servicios que se pueden adquirir con él. Entonces, denotando por $x$ a la cantidad pedida, y planteando la proporción $$\dfrac{100-3,2}{100}=\dfrac{x}{10}$$ obtenemos $$x=9,68 \; \text{euros}$$
[autoría]
lunes, 16 de noviembre de 2015
Interés compuesto. ¿ Durante cuánto tiempo ... ?
ENUNCIADO. ¿ Cuántos años debemos tener una cierta cantidad de dinero en una cuenta bancaria, a un interés ( compuesto ) del 5%, para que se doble dicha cantidad ? ( Considerar que los intereses se liquidan una vez al año )
SOLUCIÓN.
Siendo $C_0$ el capital inicial, $$2\,C_0=C_0\cdot(1+0,05)^t$$ esto es $$2=(1+0,05)^t$$ y sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,2=t\,\ln\,1,05$$ de donde, despejando $t$, obtenemos $$t=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,1,05} \approx 15 \; \text{años}$$
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SOLUCIÓN.
Siendo $C_0$ el capital inicial, $$2\,C_0=C_0\cdot(1+0,05)^t$$ esto es $$2=(1+0,05)^t$$ y sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,2=t\,\ln\,1,05$$ de donde, despejando $t$, obtenemos $$t=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,1,05} \approx 15 \; \text{años}$$
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[autoría]
domingo, 15 de noviembre de 2015
Calcular la TAE
ENUNCIADO. Depositamos una cierta cantidad de dinero en una cuenta bancaria remunerada ( con los intereses ), a una tasa de interés anual del $3\,\%$, durante un cierto número de años, y con una frecuencia de liquidación de intereses: a) anual ( cada 12 meses ), b) trimestral y c) mensual. Calcular la Tasa Anual Equivalente ( TAE ) en cada uno de estos casos.
SOLUCIÓN.
Procedemos a aplicar la fórmula para el cálculo de la Tasa Anual Equivalente:
a) Si la frecuencia de liquidación es de $12$ veces al año, $f=1$, $TAE=I$ ( como ya hemos comentado en la observación ); en efecto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{1}\right)^{1}-1=0,03=3\,\%$$
b) Si la frecuencia de liquidación es trimestral, es decir, se ésta se realiza $\dfrac{12}{3}=4$ veces al año, $f=4$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{4}\right)^{4}-1=0,0303 \approx 3,03\,\%$$
c) Si la frecuencia de liquidación es mensual, esto es, la liquidación se realiza $\dfrac{12}{12}=1$ vez al año, $f=12$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{12}\right)^{12}-1=0,0304 \approx 3,04\,\%$$
$\square$
Observación:
En este ejemplo comprobamos que el valor de la TAE crece conforme la frecuencia de liquidación de intereses aumenta, y viceversa.
SOLUCIÓN.
Procedemos a aplicar la fórmula para el cálculo de la Tasa Anual Equivalente:
a) Si la frecuencia de liquidación es de $12$ veces al año, $f=1$, $TAE=I$ ( como ya hemos comentado en la observación ); en efecto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{1}\right)^{1}-1=0,03=3\,\%$$
b) Si la frecuencia de liquidación es trimestral, es decir, se ésta se realiza $\dfrac{12}{3}=4$ veces al año, $f=4$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{4}\right)^{4}-1=0,0303 \approx 3,03\,\%$$
c) Si la frecuencia de liquidación es mensual, esto es, la liquidación se realiza $\dfrac{12}{12}=1$ vez al año, $f=12$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{12}\right)^{12}-1=0,0304 \approx 3,04\,\%$$
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Observación:
En este ejemplo comprobamos que el valor de la TAE crece conforme la frecuencia de liquidación de intereses aumenta, y viceversa.
[autoría]
Cálculo de la cantidad a pagar, conociendo el porcentaje de descuento y el porcentaje de impuesto
ENUNCIADO. Compramos un artículo que está rebajado en un $10\,\%$ sobre el precio de referencia, que es de $35,00$ euros; y, además, se debe cargar sobre dicho precio un impuesto del $21\,\%$. ¿ Cuánto nos costará ?
SOLUCIÓN. Aplicando los porcentajes encadenados del descuento y del impuesto, y redondeando al céntimo el resultado: $$\dfrac{100-10}{100}\cdot \dfrac{100+21}{100} \cdot 35,00 = 38,12 \quad \text{euros}$$ $\square$
SOLUCIÓN. Aplicando los porcentajes encadenados del descuento y del impuesto, y redondeando al céntimo el resultado: $$\dfrac{100-10}{100}\cdot \dfrac{100+21}{100} \cdot 35,00 = 38,12 \quad \text{euros}$$ $\square$
[autoría]
Calcular el precio de referencia conociendo la cantidad pagada, el porcentaje de descuento y el porcentaje de impuesto
ENUNCIADO. Hemos compramos un artículo y nos ha costado $52,70$ euros, habiéndose aplicado un $5\,\%$ de descuento y un impuesto del $21\,\%$ sobre el precio de referencia del mismo. ¿ Cuál es dicho precio de referencia ?
SOLUCIÓN. Aplicando los porcentajes encadenados para deducir el descuento y el impuesto, y redondeando al céntimo el resultado: $$\dfrac{100}{100-5}\cdot \dfrac{100}{100+21} \cdot 52,70 = 45,85 \quad \text{euros}$$ $\square$
SOLUCIÓN. Aplicando los porcentajes encadenados para deducir el descuento y el impuesto, y redondeando al céntimo el resultado: $$\dfrac{100}{100-5}\cdot \dfrac{100}{100+21} \cdot 52,70 = 45,85 \quad \text{euros}$$ $\square$
[autoría]
Poblaciones
ENUNCIADO. Sabemos que una cierta población evoluciona de forma geométrica ( o exponencial ). La tasa anual de crecimiento de natalidad de la población es del $3\,\%$ y la tasa anual de mortalidad es del $1\,\%$. Se sabe que estas tasas se mantienen aproximadamente constantes, en décadas. Hace cuatro años, la población era de $2500$ personas. ¿ Cuál es el número de personas de dicha población en la actualidad ?.
SOLUCIÓN. La tasa ( efectiva ) de crecimiento se calcula encadenando las tasas de natalidad y de mortalidad, y es igual a $$\dfrac{100+3}{100}\cdot \dfrac{100-1}{100}=\dfrac{10197}{10000} = 1,0197$$ por lo que al ser aplicada cuatro años consecutivos nos da una población de $$2500\cdot (1,0197)^4 \approx 2703 \; \text{personas}$$ \par
$\square$
SOLUCIÓN. La tasa ( efectiva ) de crecimiento se calcula encadenando las tasas de natalidad y de mortalidad, y es igual a $$\dfrac{100+3}{100}\cdot \dfrac{100-1}{100}=\dfrac{10197}{10000} = 1,0197$$ por lo que al ser aplicada cuatro años consecutivos nos da una población de $$2500\cdot (1,0197)^4 \approx 2703 \; \text{personas}$$ \par
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[autoría]
Calcular el beneficio, a interés simple ...
ENUNCIADO. ¿ Cuál es el beneficio que se obtiene, a interés simple, imponiendo $500,00$ euros a una tasa de interés anual ( rédito ) del $2\,\%$ durante $950$ días ? ¿ Cuál es la cantidad de dinero que podremos obtener en total ?
SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés simple $$I=C_{0}\cdot i \cdot t$$ y teniendo en cuenta que, por convenio, el año comercial es de $360$ días encontramos , vemos que ( redondeando al céntimo ) el interés producido es $$I=500,00\cdot 0,02 \cdot \dfrac{950}{360} = 26,39 \; \text{euros}$$ y la cantidad total de dinero es $$500,00+26,39=526,39 \; \text{euros}$$ \par
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SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés simple $$I=C_{0}\cdot i \cdot t$$ y teniendo en cuenta que, por convenio, el año comercial es de $360$ días encontramos , vemos que ( redondeando al céntimo ) el interés producido es $$I=500,00\cdot 0,02 \cdot \dfrac{950}{360} = 26,39 \; \text{euros}$$ y la cantidad total de dinero es $$500,00+26,39=526,39 \; \text{euros}$$ \par
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[autoría]
Calcular el capital final a interés compuesto ...
ENUNCIADO. ¿ Cuál es el capital final que se obtiene, a interés compuesto, imponiendo $500,00$ euros a una tasa de interés anual ( rédito ) del $2\,\%$ durante $950$ días, si los intereses se liquidan cada tres meses ? ¿ Qué beneficio ( interés ) se obtiene ?
SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés compuesto $$C_{\text{final}} \equiv C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ con frecuencia de liquidación de intereses $f=\dfrac{12}{3}=4$, encontramos que ( redondeando al céntimo ), el capital final es $$500,00\cdot \left( 1+\dfrac{0,02}{4} \right)^{\frac{950}{360}\cdot 4} = 527,03 \;\text{euros} $$ y el beneficio ( interés total ) es igual a $$527,03-500,00=27,03 \;\text{euros}$$ \par
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SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés compuesto $$C_{\text{final}} \equiv C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ con frecuencia de liquidación de intereses $f=\dfrac{12}{3}=4$, encontramos que ( redondeando al céntimo ), el capital final es $$500,00\cdot \left( 1+\dfrac{0,02}{4} \right)^{\frac{950}{360}\cdot 4} = 527,03 \;\text{euros} $$ y el beneficio ( interés total ) es igual a $$527,03-500,00=27,03 \;\text{euros}$$ \par
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[autoría]
Calcular la cantidad capitalizada ...
ENUNCIADO. Establecemos un plan de capitalización, consistente en ingresar $2000$ euros cada año ( cada principio de año ), durante $10$ años, a una tasa de interés anual del $3\,\%$. ¿ Cuál será el capital al término de dicho plan ?. \par \vspace*{0,2cm} \noindent
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cantidad a capitalizar $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y con los siguientes datos:
$q=2\,000$ euros \par
$t=10$ años\par
$i=0,03$\par
$f=1$\par
obtenemos
$$C=2000\cdot(1+\dfrac{0,03}{1})\cdot\left(\frac{(1+\frac{0,03}{1})^{1\cdot 10}-1}{\frac{0,03}{1}}\right)=23\,615,59\; \text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cantidad a capitalizar $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y con los siguientes datos:
$q=2\,000$ euros \par
$t=10$ años\par
$i=0,03$\par
$f=1$\par
obtenemos
$$C=2000\cdot(1+\dfrac{0,03}{1})\cdot\left(\frac{(1+\frac{0,03}{1})^{1\cdot 10}-1}{\frac{0,03}{1}}\right)=23\,615,59\; \text{euros}$$
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[autoría]
Amortización de un préstamo
ENUNCIADO. Un empresario ha pedido un préstamo de $40\,000$ euros a un banco, con una tasa de interés anual del $5\,\%$, a devolver en $3$ años. ¿ Cuál es el importe de la cuota anual ?.
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
y con los siguientes datos:
$C=40\,000$ euros \par
$t=3$ años\par
$i=0,05$\par
$f=1$\par
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=40\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1} \cdot \frac{0,05}{1}}{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1}-1}=14\,686,34\;\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
y con los siguientes datos:
$C=40\,000$ euros \par
$t=3$ años\par
$i=0,05$\par
$f=1$\par
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=40\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1} \cdot \frac{0,05}{1}}{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1}-1}=14\,686,34\;\text{euros}$$
$\square$
[autoría]
Hipoteca inversa
ENUNCIADO. Al cumplir $65$ años, una mujer se jubila, y decide contratar un una pensión hipotecaria ( o hipoteca inversa ), a una tasa de interés anual del $4\,\%$, con el fin de complementar su pensión de jubilación ( que prevé escasa para satisfacer sus necesidades ). Para negociar con el banco, cuenta con su vivienda, que está tasada en $200\,000$ euros ( habiendo llegado a un acuerdo previo con sus herederos para que éstos rescaten la vivienda después de su muerte, pagando al banco el préstamo recibido de dicha entidad ); a cambio, recibirá del banco una cantidad mensual durante el resto de su vida. Según los estudios estadísticos, se estima que la esperanza de vida para una mujer ( a partir de los 65 años ), es de $22,57$ años \footnote{Este tipo de datos pueden consultarse en el INE ( Instituto Nacional de Estadística )}. ¿ Cuál es la cantidad mensual que recibirá ?.
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$ donde $C=200\,000$ euros; $t=22,57$ años; $f=12$ ( la liquidación de intereses se efectúa cada mes, esto es, $12$ veces al año ), e $i=0,04$ ( tasa de interés anual ). En estas condiciones, la señora percibirá la siguiente cuota mensual, hasta el momento de su fallecimiento: $$q=500\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12} \cdot \frac{0,04}{12}}{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12}-1} = 1122,41\;\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$ donde $C=200\,000$ euros; $t=22,57$ años; $f=12$ ( la liquidación de intereses se efectúa cada mes, esto es, $12$ veces al año ), e $i=0,04$ ( tasa de interés anual ). En estas condiciones, la señora percibirá la siguiente cuota mensual, hasta el momento de su fallecimiento: $$q=500\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12} \cdot \frac{0,04}{12}}{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12}-1} = 1122,41\;\text{euros}$$
$\square$
[autoría]
Determinar cuáles son los números reales que satisfacen la desigualdad
ENUNCIADO. Resolver la inecuación
$$-5x+2\le 3$$
SOLUCIÓN
$-5x+2\le 3$
$-5x + 2 -2 \le 3-2$
$-5x \le 1$
$ 5x \ge -1$
$ x \ge -\dfrac{1}{5}$
por tanto la solución de la inecuación es siguiente conjunto de números
$$\{x \in \mathbb{R}: x \ge -\dfrac{1}{5}\}$$
esto es la semirrecta
$$[-\dfrac{1}{5}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$$
$\square$
$$-5x+2\le 3$$
SOLUCIÓN
$-5x+2\le 3$
$-5x + 2 -2 \le 3-2$
$-5x \le 1$
$ 5x \ge -1$
$ x \ge -\dfrac{1}{5}$
por tanto la solución de la inecuación es siguiente conjunto de números
$$\{x \in \mathbb{R}: x \ge -\dfrac{1}{5}\}$$
esto es la semirrecta
$$[-\dfrac{1}{5}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$$
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[autoría]
Resolver el sistema de ecuaciones lineales
ENUNCIADO. Clasificar según la solución y resolver, si procede, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, interpretando la ( posible ) solución desde el punto de vista geométrico:
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
SOLUCIÓN
Mediante combinaciones lineales entre filas procederemos a obtener un sistema equivalente que tenga un escalonamiento de $0$s en los coeficientes de las ecuaciones ( del sistema reducido por Gauss ), que nos permitirá saber cuántas ecuaciones de las dadas son linealmente independientes ( rango del sistema ), viendo con ello si el sistema es incompatible ( no tiene solución ) o bien compatible ( tiene solución ), y en cuyo caso, si a cada variable le corresponde un sólo valor como solución ( compatible determinado ) o bien le corresponden infinitos valores, aunque con una cierta estructura que los liga ( sistema compatible indeterminado ). Finalmente, si procede encontraremos la solución.
Empecemos. A partir del sistema original
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
y mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones
$$\left.\begin{matrix}
-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obtenemos el siguiente sistema equivalente
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&y&-&6\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\} $$
que acabamos de escalonar haciendo
$$\left.\begin{matrix}
2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obteniendo
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&&-&14\,z=&14 \\
\end{matrix}\right\} $$
sistema escalonado por Gauss que tiene $3$ ecuaciones linealmente independientes, luego el rango del sistema de ecuaciones es $3$; y, como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. Veamos cuál es. De la última ecuación, despejamos $z$ sin dificultad, obteniendo $z=-1$; sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación del sistema reducido llegamos a $y=-3$. Y, finalmente, sustituyendo $z=-1$ e $y=-3$ en la primera ecuación y despejando la incógnita $x$ resulta $x=1$.
Y se comprueba fácilmente que la solución ( que representa un punto del espacio tridimensional ) satisface las tres igualdades originales.
$\square$
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
SOLUCIÓN
Mediante combinaciones lineales entre filas procederemos a obtener un sistema equivalente que tenga un escalonamiento de $0$s en los coeficientes de las ecuaciones ( del sistema reducido por Gauss ), que nos permitirá saber cuántas ecuaciones de las dadas son linealmente independientes ( rango del sistema ), viendo con ello si el sistema es incompatible ( no tiene solución ) o bien compatible ( tiene solución ), y en cuyo caso, si a cada variable le corresponde un sólo valor como solución ( compatible determinado ) o bien le corresponden infinitos valores, aunque con una cierta estructura que los liga ( sistema compatible indeterminado ). Finalmente, si procede encontraremos la solución.
Empecemos. A partir del sistema original
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
y mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones
$$\left.\begin{matrix}
-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obtenemos el siguiente sistema equivalente
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&y&-&6\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\} $$
que acabamos de escalonar haciendo
$$\left.\begin{matrix}
2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obteniendo
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&&-&14\,z=&14 \\
\end{matrix}\right\} $$
sistema escalonado por Gauss que tiene $3$ ecuaciones linealmente independientes, luego el rango del sistema de ecuaciones es $3$; y, como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. Veamos cuál es. De la última ecuación, despejamos $z$ sin dificultad, obteniendo $z=-1$; sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación del sistema reducido llegamos a $y=-3$. Y, finalmente, sustituyendo $z=-1$ e $y=-3$ en la primera ecuación y despejando la incógnita $x$ resulta $x=1$.
Y se comprueba fácilmente que la solución ( que representa un punto del espacio tridimensional ) satisface las tres igualdades originales.
$\square$
[autoría]
Resolver el sistema de ecuaciones no-lineales
ENUNCIADO. Resolver $$\left\{\begin{matrix}
x^2 &+&y^2&=&9\\
-x^2 &+&y^2&=&7
\end{matrix}\right.$$
Sumando ( miembro a miembro ) ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación ( compatible ) con las dos ecuaciones originales $$2\,y^2=16$$ que, simplificada, es $$x^2=8$$ y, por tanto, $$y=\left\{\begin{matrix}
|\sqrt{8}|\\
\text{ó}\\
-|\sqrt{8}|\\
\end{matrix}\right.$$ Entonces:
(1) Si $y=|\sqrt{8}|$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$
(2) Si $y=-|\sqrt{8}|$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos ( igual que en (1) ) que $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$
Luego la solución del sistema de ecuaciones pedido viene dada por los siguientes pares "(x,y)" $$\{\, (-1\,,\,|\sqrt{8}|)\,,\,(-1\,,\,-|\sqrt{8}|)\,,\,(1\,,\,-|\sqrt{8}|)\,,\,(1\,,\,|\sqrt{8}|)\,,\, \,\}$$
$\square$
x^2 &+&y^2&=&9\\
-x^2 &+&y^2&=&7
\end{matrix}\right.$$
Sumando ( miembro a miembro ) ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación ( compatible ) con las dos ecuaciones originales $$2\,y^2=16$$ que, simplificada, es $$x^2=8$$ y, por tanto, $$y=\left\{\begin{matrix}
|\sqrt{8}|\\
\text{ó}\\
-|\sqrt{8}|\\
\end{matrix}\right.$$ Entonces:
(1) Si $y=|\sqrt{8}|$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$
(2) Si $y=-|\sqrt{8}|$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos ( igual que en (1) ) que $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$
Luego la solución del sistema de ecuaciones pedido viene dada por los siguientes pares "(x,y)" $$\{\, (-1\,,\,|\sqrt{8}|)\,,\,(-1\,,\,-|\sqrt{8}|)\,,\,(1\,,\,-|\sqrt{8}|)\,,\,(1\,,\,|\sqrt{8}|)\,,\, \,\}$$
$\square$
[autoría]
Resolver la ecuación
ENUNCIADO. Resolver
$$x^4-7x^2+12=0$$
SOLUCIÓN. Al tratarse de una ecuación bicuadrada, procedemos a realizar la siguiente transformación $$t:=x^2$$ que nos permite reescribirla como una ecuación cuadrática $$t^2-7t+12=0$$ Resolviendo esta ecuación $$t=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2 \cdot 1}=\dfrac{7\pm1}{2}=\left\{\begin{matrix}
4 \\ \\
3
\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo, ahora, la transformación:
Si $t=4$, entonces $x=\sqrt{4}=\pm 2$
Si $t=4$, entonces $x=\sqrt{3}=\pm |\sqrt{3}|$
Es decir, la solución de la ecuación pedida consta de los siguientes valores $$\{-2\,,\,-|\sqrt{3}|\,,\,2\,,\,|\sqrt{3}|\}$$
$\square$
$$x^4-7x^2+12=0$$
SOLUCIÓN. Al tratarse de una ecuación bicuadrada, procedemos a realizar la siguiente transformación $$t:=x^2$$ que nos permite reescribirla como una ecuación cuadrática $$t^2-7t+12=0$$ Resolviendo esta ecuación $$t=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2 \cdot 1}=\dfrac{7\pm1}{2}=\left\{\begin{matrix}
4 \\ \\
3
\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo, ahora, la transformación:
Si $t=4$, entonces $x=\sqrt{4}=\pm 2$
Si $t=4$, entonces $x=\sqrt{3}=\pm |\sqrt{3}|$
Es decir, la solución de la ecuación pedida consta de los siguientes valores $$\{-2\,,\,-|\sqrt{3}|\,,\,2\,,\,|\sqrt{3}|\}$$
$\square$
[autoría]
jueves, 12 de noviembre de 2015
Resolver la siguiente ecuación
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación
$$\dfrac{x}{x^2-9}=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
SOLUCIÓN. Para encontrar una ecuación equivalente, más sencilla, descomponemos en factores ( polinómicos ) primos los polinomios que aparecen en las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación ( en este caso, podemos hacerlo simplemente utilizando identidades notables ):
$x^2-9=(x-3)(x+3)$
$x-3$ es un polinomio primo
$x^2-6x+9=(x-3)^2$
Por tanto
$\text{m.c.m.}(x^2-9\,,\,x-3\,,\,x^2-6x+9)=$
$=\text{m.c.m.}\left((x-3(x+3)\,,\,x-3\,,\,(x-3)^2\right)=(x-3)^2(x+3)$
Multiplicando por el mínimo común múltiplo en cada miembro de la ecuación original $$(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{x}{x^2-9}=(x-3)^2(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
es decir $$\dfrac{(x-3)^2(x+3)x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{x-3}+\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{(x-3)^2}$$ y simplificando $$x(x-3)=(x-3)(x+3)+(x+3)$$ esto es $$x^2-3x=x^2-9+x+3$$ y por tanto $$6=4x$$ luego $$x=\dfrac{3}{2}$$
$\square$
$$\dfrac{x}{x^2-9}=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
SOLUCIÓN. Para encontrar una ecuación equivalente, más sencilla, descomponemos en factores ( polinómicos ) primos los polinomios que aparecen en las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación ( en este caso, podemos hacerlo simplemente utilizando identidades notables ):
$x^2-9=(x-3)(x+3)$
$x-3$ es un polinomio primo
$x^2-6x+9=(x-3)^2$
Por tanto
$\text{m.c.m.}(x^2-9\,,\,x-3\,,\,x^2-6x+9)=$
$=\text{m.c.m.}\left((x-3(x+3)\,,\,x-3\,,\,(x-3)^2\right)=(x-3)^2(x+3)$
Multiplicando por el mínimo común múltiplo en cada miembro de la ecuación original $$(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{x}{x^2-9}=(x-3)^2(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
es decir $$\dfrac{(x-3)^2(x+3)x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{x-3}+\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{(x-3)^2}$$ y simplificando $$x(x-3)=(x-3)(x+3)+(x+3)$$ esto es $$x^2-3x=x^2-9+x+3$$ y por tanto $$6=4x$$ luego $$x=\dfrac{3}{2}$$
$\square$
[autoría]
Resolver la ecuación
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$$
SOLUCIÓN.
$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$
$(\sqrt{x-1}+1)^2=(\sqrt{1-x})^2$
$\sqrt{x-1}+2\,\sqrt{x-1}+1=1-x$
$x+2\,\sqrt{x-1}=1-x$
$2\,\sqrt{x-1}=1-2\,x$
$(2\,\sqrt{x-1})^2=(1-2\,x)^2$
$4\,(x-1)=1-4\,x+4\,x^2$
$4\,x-4=1-4\,x+4\,x^2$
$4\,x^2-8\,x+5=0$
$x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 4 \cdot 5}}{ 2 \cdot 4}$
$=\dfrac{8\pm \sqrt{-16}}{8} \notin \mathbb{R}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$
$(\sqrt{x-1}+1)^2=(\sqrt{1-x})^2$
$\sqrt{x-1}+2\,\sqrt{x-1}+1=1-x$
$x+2\,\sqrt{x-1}=1-x$
$2\,\sqrt{x-1}=1-2\,x$
$(2\,\sqrt{x-1})^2=(1-2\,x)^2$
$4\,(x-1)=1-4\,x+4\,x^2$
$4\,x-4=1-4\,x+4\,x^2$
$4\,x^2-8\,x+5=0$
$x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 4 \cdot 5}}{ 2 \cdot 4}$
$=\dfrac{8\pm \sqrt{-16}}{8} \notin \mathbb{R}$
$\square$
[autoría]
jueves, 5 de noviembre de 2015
Interés simple
Deducción de la fórmula del interés simple
Denotamos por:
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}$: capital final
$t$: número de años en depósito a interés simple
$i$: tasa de interés anual ( en tanto por unidad ), esto es, $i=\dfrac{r}{100}$ ( siendo $r$ el rédito anual, en tanto por ciento )
$I$: interés ( final ) obtenido
Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, sin que ello entrañe pérdida de generalidad en lo que vamos a obtener. Entonces:
al término del primer año obtenemos un interés igual a $i$
al término del segundo año, obtenemos un interés acumulado igual a $2\,i$
al término del tercer año, $3\,i$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año, tendremos un interés final igual a $t\cdot i$
Luego, para $C_0 \neq 0 $ ( y, por supuesto, mayor que $0$ ), el interés total, $I$, viende dado por la expresión ( fórmula ) $$I=C_0 \, i\, t$$
Por consiguiente, el capital final, $C_{\text{final}}$, viene dado por la expresión $$C_{\text{final}}=C_0+I$$ esto es $$C_f=C_0(1+i\,t)$$
NOTA: En este modelo de interés ( simple ) -- el interés generado, período a período, crece de forma lineal ( según una sucesión aritmética ) -- no importa cuál sea el valor de la frecuencia de liquidación de los intereses en el intervalo de $1$ año, $f$; en efecto, si $f \succ 1$, tenemos que $$C_{\text{final}}=C_0(1+\frac{i}{f}\cdot t\cdot f)=C_0(1+i\,t)$$ que es lo mismo que si $f=1$.
$\square$
Denotamos por:
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}$: capital final
$t$: número de años en depósito a interés simple
$i$: tasa de interés anual ( en tanto por unidad ), esto es, $i=\dfrac{r}{100}$ ( siendo $r$ el rédito anual, en tanto por ciento )
$I$: interés ( final ) obtenido
Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, sin que ello entrañe pérdida de generalidad en lo que vamos a obtener. Entonces:
al término del primer año obtenemos un interés igual a $i$
al término del segundo año, obtenemos un interés acumulado igual a $2\,i$
al término del tercer año, $3\,i$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año, tendremos un interés final igual a $t\cdot i$
Luego, para $C_0 \neq 0 $ ( y, por supuesto, mayor que $0$ ), el interés total, $I$, viende dado por la expresión ( fórmula ) $$I=C_0 \, i\, t$$
Por consiguiente, el capital final, $C_{\text{final}}$, viene dado por la expresión $$C_{\text{final}}=C_0+I$$ esto es $$C_f=C_0(1+i\,t)$$
NOTA: En este modelo de interés ( simple ) -- el interés generado, período a período, crece de forma lineal ( según una sucesión aritmética ) -- no importa cuál sea el valor de la frecuencia de liquidación de los intereses en el intervalo de $1$ año, $f$; en efecto, si $f \succ 1$, tenemos que $$C_{\text{final}}=C_0(1+\frac{i}{f}\cdot t\cdot f)=C_0(1+i\,t)$$ que es lo mismo que si $f=1$.
$\square$
[autoría]
Fórmula del capital final ( a interés compuesto )
Deducción de la fórmula del capital final a interés compuesto
Denotamos por:
$C(j)$: capital al término del $j$-ésimo año ( $j=0,1,\ldots,t$ )
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}:=C(t)$: capital final
$t$: número de años en depósito
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, y que $f=1$. Entonces:
al término del primer año obtenemos: $C(1)=1+i$
al término del segundo año: $C(2)=C(1) \cdot (1+i)=(1+i)^2$
al término del tercer año: $C(3)=C(2) \cdot (1+i)=(1+i)^3$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año: $C(t)=C(t-1) \cdot (1+i)=(1+i)^t$
Luego el capital final, $C_{\text{final}}$, producido en estas condiciones ( los términos de la sucesión $[C(j)]$ crecen ( $1+i \succ 0$ ) de forma geométrica ) es $$C(t)=C_0\cdot (1+i)^t$$ Podemos generalizar, ahora, esta fórmula, para $C_0 \neq 1$ y $f \succ 1$ escribiendo la expresión general $$C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Cabe apuntar aquí que $\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ es creciente con $f$.
Tasa Anual Equivalente ( TAE ):
En el caso general ( $f \succ 1$ ) se utiliza la denominada Tasa Anual Equivalente, muy útil para comparar productos bancarios, al objeto de poder tomar una decisión a la hora de contratar uno u otro. Se basa en lo siguiente: en $1$ año, el capital final ( al cabo de ese año ) que se obtiene, pongamos que con $C_0=1$ ( es irrelevante el valor de $C_0$ ), en términos de esta tasa equivalente, ha de ser igual a $$1+\text{TAE}$$ y, por otra parte, según lo dicho arriba, ha de contabilizarse como $$\left(1+\frac{i}{f}\right)^{1\cdot f}$$ luego $$1+\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}$$ y por tanto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}-1$$
NOTA: Evidentemente, en el caso de que $f$ sea igual a $1$ ( liquidación con período de $1$ año de los intereses que se van generando ) tendremos que $\text{TAE}=i$, como debe ser.
$\square$
Denotamos por:
$C(j)$: capital al término del $j$-ésimo año ( $j=0,1,\ldots,t$ )
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}:=C(t)$: capital final
$t$: número de años en depósito
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, y que $f=1$. Entonces:
al término del primer año obtenemos: $C(1)=1+i$
al término del segundo año: $C(2)=C(1) \cdot (1+i)=(1+i)^2$
al término del tercer año: $C(3)=C(2) \cdot (1+i)=(1+i)^3$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año: $C(t)=C(t-1) \cdot (1+i)=(1+i)^t$
Luego el capital final, $C_{\text{final}}$, producido en estas condiciones ( los términos de la sucesión $[C(j)]$ crecen ( $1+i \succ 0$ ) de forma geométrica ) es $$C(t)=C_0\cdot (1+i)^t$$ Podemos generalizar, ahora, esta fórmula, para $C_0 \neq 1$ y $f \succ 1$ escribiendo la expresión general $$C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Cabe apuntar aquí que $\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ es creciente con $f$.
Tasa Anual Equivalente ( TAE ):
En el caso general ( $f \succ 1$ ) se utiliza la denominada Tasa Anual Equivalente, muy útil para comparar productos bancarios, al objeto de poder tomar una decisión a la hora de contratar uno u otro. Se basa en lo siguiente: en $1$ año, el capital final ( al cabo de ese año ) que se obtiene, pongamos que con $C_0=1$ ( es irrelevante el valor de $C_0$ ), en términos de esta tasa equivalente, ha de ser igual a $$1+\text{TAE}$$ y, por otra parte, según lo dicho arriba, ha de contabilizarse como $$\left(1+\frac{i}{f}\right)^{1\cdot f}$$ luego $$1+\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}$$ y por tanto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}-1$$
NOTA: Evidentemente, en el caso de que $f$ sea igual a $1$ ( liquidación con período de $1$ año de los intereses que se van generando ) tendremos que $\text{TAE}=i$, como debe ser.
$\square$
[autoría]
Deducción de la fórmula de amortización.
Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al final de cada período )
$C$: capital prestado
$t$: número de años del plan de amortización
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $f=1$. Entonces:
la primera cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-3}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1$
Luego el capital total producido en estas condiciones es $$q\cdot \left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-2}+(1+i)^{t-1}\right)$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1$, luego el valor de dicha suma es $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)-1}$$ expresión que, simplificada, queda $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{i}$$ por otra parte la cantidad prestada, en los $t$ años, produce $$C\cdot(1+i)^t$$ que debe ser igual a la cantidad que proviene de la suma anterior, luego $$q\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^{t}-1}{i}=C\cdot(1+i)^t$$
Así, si, ahora, consideramos que ( en general ) $f \succ 1$ llegamos a la siguiente generalización de la fórmula anterior $$q\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}{\frac{i}{f}}=C\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Despejando $q$ ( cuota a pagar ) obtenemos $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
$\square$
Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al final de cada período )
$C$: capital prestado
$t$: número de años del plan de amortización
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $f=1$. Entonces:
la primera cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-3}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1$
Luego el capital total producido en estas condiciones es $$q\cdot \left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-2}+(1+i)^{t-1}\right)$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1$, luego el valor de dicha suma es $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)-1}$$ expresión que, simplificada, queda $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{i}$$ por otra parte la cantidad prestada, en los $t$ años, produce $$C\cdot(1+i)^t$$ que debe ser igual a la cantidad que proviene de la suma anterior, luego $$q\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^{t}-1}{i}=C\cdot(1+i)^t$$
Así, si, ahora, consideramos que ( en general ) $f \succ 1$ llegamos a la siguiente generalización de la fórmula anterior $$q\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}{\frac{i}{f}}=C\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Despejando $q$ ( cuota a pagar ) obtenemos $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
$\square$
[autoría]
Plan de capitalización
Deducción de la fórmula de capitalización.
Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al principio de cada período )
$C$: capital a constituir
$t$: número de años del plan
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $C=1$, y que $f=1$. Entonces:
la primera cuota produce: $(1+i)^t$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1+i$
Luego el capital total, $C$, producido en estas condiciones es $$(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-1}+(1+i)^{t}$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1+i$, luego el valor de dicha suma es $$(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ Así, si, ahora, consideramos que $C \neq 1$ ( y, por supuesto, mayor que cero ), obtenemos $$q\cdot(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ y si $f \succ 1$ llegamos a la generalización de la fórmula anterior $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y por tanto $$q=C\cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{\left( \left(1+\frac{1}{f}\right)^{f\cdot t}-1\right)\cdot (1+\frac{i}{f})}$$
$\square$
Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al principio de cada período )
$C$: capital a constituir
$t$: número de años del plan
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $C=1$, y que $f=1$. Entonces:
la primera cuota produce: $(1+i)^t$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1+i$
Luego el capital total, $C$, producido en estas condiciones es $$(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-1}+(1+i)^{t}$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1+i$, luego el valor de dicha suma es $$(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ Así, si, ahora, consideramos que $C \neq 1$ ( y, por supuesto, mayor que cero ), obtenemos $$q\cdot(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ y si $f \succ 1$ llegamos a la generalización de la fórmula anterior $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y por tanto $$q=C\cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{\left( \left(1+\frac{1}{f}\right)^{f\cdot t}-1\right)\cdot (1+\frac{i}{f})}$$
$\square$
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