Intervalos en la recta de los números reales

ENUNCIADO. Resolver la inecuación $$|5x-2|\ge 4$$

SOLUCIÓN.
$|5x-2| \ge 4 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
5x-2 \prec 4 & &\text{si} & 5x-2 \succ 0 &&& (1)\\
\\
\text{ó} \\
\\
0 \ge 4 &(!)& \text{si} & 5x-2 = 0 &&& (2)\\
\\
\text{ó} \\
\\
-(5x-2) \ge 4 && \text{si} & 5x-2 \prec 0 &&& (3)\\
\end{matrix}\right.$

De (2), simplemente deducimos que $\dfrac{2}{5}$ ( que es la solución de $5x-2 = 0$ ) no forma parte de la solución, pues, evidentemente $0$ no es mayor o igual que $4$.

De (1) deducimos que $x \ge \dfrac{6}{5}$; y, de (3) vemos que $x \le -\dfrac{2}{5}$. Por lo tanto, la solución es $$(-\infty\,,\,-\dfrac{2}{5}] \cup [\dfrac{6}{5}\,,\,+\infty)$$
$\square$

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Determinar el intervalo de error

ENUNCIADO. Un depósito esférico tiene una capacidad de $95\,000 \pm 5000 \; \text{L}$. Calcular el intervalo de error en el que se encuentra el valor del radio ( interior de las paredes ) del depósito.

SOLUCIÓN. Recordemos que el volumen de una esfera de radio $r$ se calcula mediante la fórmula $$V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$$, de donde, conocido el volumen, podemos determinar el valor del radio despejándolo de la igualdad anterior $$r=\sqrt[3]{\dfrac{3\,V}{4\,\pi}}$$ El extremo superior del intervalo de error del volumen es $95\,000+5000=100\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo superior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 100\,000 }{4\,\pi}} \approx 29,8\;\text{dm} = 298\;\text{cm}$$

El extremo inferior del intervalo de error del volumen es $95\,000-5000=90\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo inferior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 90\,000 }{4\,\pi}} \approx 27,8\;\text{dm}=278\;\text{cm}$$

Así, pues, el intervalo (en la recta numérica de los números reales) de error del radio $r$ ( expresado en centímetros ) es $$(278\,,\,298)$$ y el centro del mismo es $$\bar{r}=\dfrac{278+298}{2}=288\;\text{cm}$$.

NOTA. Teniendo en cuenta, ahora, que la semi-amplitud del intervalo es $\dfrac{298-278}{2}=10\;\text{cm}$, podemos expresar que el valor del radio, $r$, es igual a $$288 \pm 10 \; \text{cm}$$

$\square$

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Estudiar y resolver

ENUNCIADO. Estudiar y, si procede, resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&0 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema de ecuaciones por Gauss ( obtener un escalonamiento de $0$s pivotando en el primer término de la tercera ecuacion ).

Para cubrir la primera etapa, podemos hacerlo mediante estas dos combinaciones lineales entre ecuaciones: $-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2$ y $-2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3$; así obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&y&-&6\,z=&-6 \\
\end{matrix}\right\}$$ Procedemos ahora a llevar a cabo la segunda etapa del escalonamiento, mediante la combinación $3\,e_3+e_2 \rightarrow e_2$, obteniendo el sistema ya escalonado $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&&&-14\,z=&-20 \\
\end{matrix}\right\}$$ Es evidente que el sistema es compatible, pues no hay ninguna contradicción en las igualdades ( ecuaciones ) del sistema reducido ( equivalente al original ); además, al tener $3$ ecuaciones independientes ( linealmente ) -- $3$ ecuaciones identicamente no-nulas --, y ser este valor del rango al número de variables ( incógnitas ), el sistema es ( compatible ) determinado: como solución del sistema, habrá un sólo valor para cada incógnita. Simplificando un poco para facilitar el despeje: $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&&3\,y&-&4\,z=&2 \\
&&&&7\,z=&10 \\
\end{matrix}\right\}$$ Despejando $z$ de la tercera ecuación $$z=\dfrac{10}{7}$$
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$
$$3y-4\cdot \dfrac{10}{7}=2 \Leftrightarrow y=\dfrac{18}{7}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación y despejando $x$ $$3\,x-3\cdot \dfrac{18}{7}+\dfrac{10}{7}=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{17}{7}$$

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Determinar las raíces ...

ENUNCIADO. Encontrar las raíces ( reales ) del siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3$$

SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por los números $$\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0 \}$$ por lo que debemos resolver la ecuación $$x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3=0$$ que es bicuadrada, luego haciendo la transformación $t=x^2$, llegamos a $$t^2-2\,\sqrt{3}\,t+3=0$$ de donde $$t=\dfrac{-2\,\sqrt{3}\pm \sqrt{(-2\,\sqrt{3})^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\pm |\sqrt{3}|$$
Deshaciendo la transformación $$x=\sqrt{t}$$ por tanto si $t=-|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{-|\sqrt{3}|} \notin \mathbb{R}$; y, si $t=|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{|\sqrt{3}|}=\pm \,|\sqrt[4]{3}|$. Por tanto las raíces de $P(x)$ son $$\{- \,|\sqrt[4]{3}|\,,\,|\sqrt[4]{3}|\}$$
$\square$

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Polinomios primos

ENUNCIADO. Escribir un polinomio primo de grado $4$

SOLUCIÓN. Un polinomio se dice primo si no tiene raíces ( reales ). Un polinomio de grado $4$ que no tiene raíces reales es, por ejemplo, $x^4+1$, ya que no existe ningún número real tal que al hacer su potencia cuarta ( al intentar encontrar las raíces de dicho polinomio: $x^4+1=0 \Leftrightarrow x^4=-1 \Leftrightarrow x=\sqrt[4]{-1}$ ) dé como resultado $-1$.
$\square$

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Calcular el logaritmo ( expresándolo en función de logaritmos con base estándar: $10$ o bien $e$ )

ENUNCIADO. Calcular con cuatro cifras decimales significativas ( $4$ c.d.s. ) $$\log_{3}\,4$$

SOLUCIÓN. Vamos a expresar dicho logaritmo en términos de logaritmos de base $e$ para poder utilizar la tecla de función "logaritmo neperiano" de la calculadora científica ( lo mismo podríamos hacer, si decidiésemos expresarlo en términos de logaritmos de base $10$ o logaritmos de Briggs ); para ello, designamos la cantidad pedida de la forma $$t:=\log_{3}\,4$$ con lo cual, por la propiedad de reciprocidad $$4=3^t$$ Sacando logaritmos neperianos en cada miembro $$\ln\,4=t\,\ln\,3$$ y despejando $t$ $$t=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}$$ esto es $$\log_{3}\,4=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}$$ y empleando ahora la calculadora encontramos $$\log_{3}\,4 \approx 1,2619 \; \text{( 4 c.d.s)}$$
$\square$

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Resolver la ecuación logarítmica

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\log_{10}\,(2-5\,x)=1$$

SOLUCIÓN. Por la propiedad de reciprocidad entre logaritmos y exponenciales $$\log_{10}\,(2-5\,x)=1 \Leftrightarrow 10^1=2-5x \Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{5}$$
$\square$

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Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{1}{3-x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. Podemos expresar la ecuación de la forma $$\dfrac{-1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$ El mínimo común múltiplo de los polinomios que aparecen en los denominadores de las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación es $\text{m.c.m}(x-3\,,\,x^2-9)=(x-3)(x+3)$, pues $x^2-9=(x-3)8x+3)$, luego multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo llegaremos a una ecuación equivalente con términos polinómicos $$\dfrac{(-1)(x-3)(x+3)}{x-3}-\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x+3}=\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x^2-9}$$ simplificando $$-(x+3)-(x-3)=1$$ luego $$-2x=1$$ y, por tanto, $$x=-\dfrac{1}{2}$$ $\square$

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Hemos aproximado el número $e$ por $2,71$ ...

ENUNCIADO. Hemos aproximado ( por truncamiento ) el número irracional $e$ ( base de los logaritmos neperianos ) por el número $2,71$. Calcular el error absoluto, $E$, y el error relativo $\epsilon$. Dar una cota del error absoluto, $\Delta$, y una cota del error relativo $\varepsilon$.

SOLUCIÓN.
$E=|e-2,71|\approx |2,71828-2,71|=0,0083 \prec 0,01$, luego $\Delta:=0,01$

$e=\dfrac{E}{e}\approx \dfrac{0,0083}{2,71828} \approx 0,0031 \prec 0,004$, luego $\varepsilon:=0,004 = 0,4\,\%$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación con radicales ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=1$$

SOLUCIÓN.

$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=1$

  $\sqrt{x+4}=1+\sqrt{x-1}$

    $(\sqrt{x+4})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$

      $x+4=1+2\,\sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$

        $x+4=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$

          $4=2\,\sqrt{x-1}$

            $2=\sqrt{x-1}$

              $2^2=(\sqrt{x-1})^2$

              $4=x-1$

                $x=5$

$\square$

[autoría]

Expresar en factores el polinomio ...

ENUNCIADO. Factorizar el siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,x^2-3\,x-2$$

SOLUCIÓN. Los números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son los divisores del término independiente $$\text{div}(-2)=\{\pm1\,,\,\pm2\}$$ Veamos si lo son o no. Empezamos probando el valor $1$, dividiendo por $x-1$. Por el teorema del resto, $P(1) \neq 0$ ya que $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
1 & & 1 & 1 & -1 & -4\\
\hline & 1 & 1 & -1 & -4 & -6\neq 0\end{array}$$ por lo que $1$ no es raíz del polinomio.
Probemos ahora $-1$, dividiendo por $x-(-1)$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
-1 & & -1 & 1 & 1 & 2\\
\hline & 1 & -1 & -1 & -2 & 0\end{array}$$ luego $-1$ es una raíz. Veamos si tiene multiplicidad mayor que uno; para ello, volvemos a dividir ( el polinomio cociente $x^3-x^2-x-2$ de la primera división ) por $(x-(-1))$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
-1 & & -1 & 2 & -1\\
\hline & 1 & -2 & 1 & -3 \neq 0\end{array}$$ por lo que podemos afirmar que la multiplicidad de $-1$ es $1$.
Tenemos pues ya una raíz: $r_1=-1$, con multiplicidad $m_1=1$

A continuación, y de manera análoga a como acabamos de hacer, probemos el valor $2$ ( como posible raíz de $P(x)$, que también ha de serlo del $x^3-x^2-x-2$ ), dividiendo este polinomio por $x-2$ y observando si el resto de la división es cero, en cuyo caso ( por el teorema del resto ) $2$ será otra raíz de $P(x)$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
2 & & 2 & 2 & 2\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$ lo cual confirma ( el resto es cero ) que $2$ es otra raíz de $P(x)$. Observemos que el polinomio cociente de esta división es $x^2+x+1$, que es primo, pues no tiene raíces reales ( el discriminante de la ecuación $x^2+x+1=0$, que es la condición necesaria para encontrar raíces de dicho polinomio, es negativo ).

Recopilando lo realizado hasta aquí, y teniendo en cuenta el teorema de factorización, podemos escribir que la factorización pedida es $$P(x)=(x-(-1))(x-2)(x^2+x+1)$$ esto es $$P(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x+1)$$
$\square$

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Resolver de forma aproximada ( gráfica )

ENUNCIADO
Resolver la siguiente ecuación trascendente empleando alguna herramienta gráfica
$$\dfrac{1}{3^x}-x=0$$

SOLUCIÓN. Arreglemos, primero, la ecuación de forma conveniente $$3^{-x}=x$$ Así, podemos considerar la incidencia de las gráficas de las funcones $f(x)=3^{-x}$ y $g(x)=x$. Empleando GeoGebra ( o incluso dibujando en papel milimetrado ) y representando ambas gráficas en un mismo diagrama cartesiano observamos lo siguiente

con lo cual podemos afirmar que la ecuación pedida sólo tiene un valor como solución, pues hay un único punto de intersección. Dicho valor es $x \approx 0,55$ ( con dos cifras decimales significativas ).

$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\sqrt{2x-1}-x=-3$$

SOLUCIÓN.
$\sqrt{2x-1}-x=-3$
  $\sqrt{2x-1}=x-3$
    $(\sqrt{2x-1})^2=(x-3)^2$
      $2x-1=x^2-6x+9$
        $0=x^2-8x+10$
          $x=\dfrac{-(-8)\pm\,\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}=\dfrac{8\pm\,2\sqrt{6}}{2}=4\pm \sqrt{6}$
$\square$

[autoría]

Cálculo con logaritmos

ENUNCIADO. Obtener ( con ayuda de la calculadora científica ) el valor de $\log_{0,01}\,3$ y expresarlo con cuatro cifras decimales significativas.

SOLUCIÓN. Para obtener el resultado pedido debemos cambiar la base logarítimica para, así, poder utilizar o bien la función pre-definida de la calculadora que se refiere a logaritmos decimales, $\log$, o bien a la función pre-definida que corresponde a los logaritmos neperianos, $\ln$; en cualquiera de estos dos casos obtendremos el mismo resultado, como debe ser.

Sea $t:=\log_{0,01}\,3$, entonces $3=0,01^t$. Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de esta igualdad $$\ln\,3=t\,\ln\,0,01$$ despejando $t$ $$t=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,0,01} \overset{\text{calculadora}}{\approx} -0,2386 \; \text{4 c.d.s.}$$

Nota: Como ya hemos comentado, también podemos decidirnos por los logaritmos decimales, $$\log\,3=t\,\log\,0,01$$ despejando $t$ $$t=\dfrac{\log\,3}{\log\,0,01}=\dfrac{\log\,3}{-2} \overset{\text{calculadora}}{\approx} -0,2386 \; \text{4 c.d.s.}$$

$\square$

[autoría]

Simplificar y multiplicar las fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Simplificar la siguientes fracciones algebraicas y, a continuación, realizar el producto de ambas
$$A(x)=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}$$

$$B(x)=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+\dfrac{1}{x}}}$$

SOLUCIÓN.
$A(x)=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x+1}{x}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{x+1}}=$

  $=1+\dfrac{1}{\dfrac{2x+1}{x+1}}=1+\dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{2x+1+x+1}{2x+1}=\dfrac{3x+2}{2x+1}$


$B(x)=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+\dfrac{1}{x}}}=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{\dfrac{x+1}{x}}}=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x^2}{x+1}}=$

  $=1+\dfrac{x}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}=1+\dfrac{x\,(x+1)}{x^2+x+1}=\dfrac{(x^2+x+1)+(x^2+x)}{x^2+x+1}=$

    $=\dfrac{2\,x^2+2\,x+1}{x^2+x+1}$

Entonces, $$A(x) \cdot B(x) = \dfrac{3x+2}{2x+1} \cdot \dfrac{2\,x^2+2\,x+1}{x^2+x+1}=$$ $$=\dfrac{(3x+2)(2\,x^2+2\,x+1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}=\dfrac{6\,x^3+10\,x^2+7\,x+2}{2\,x^3+3\,x^2+3\,x+1}$$

$\square$

[autoría]

Hallar el intervalo de la recta numérica tal que ...

ENUNCIADO. Hallar el intervalo solución que corresponde a la inecuación $$|2x-7| \prec 1$$

SOLUCIÓN.
$|2x-7| \prec 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
2x-7 \prec 1 & \text{si} & 2x-7 \succ 0 &&& (1)\\
\\
\text{ó} \\
\\
0 \prec 1 & \text{si} & 2x-7 = 0 &&& (2)\\
\\
\text{ó} \\
\\
-(2x-7) \prec 1 & \text{si} & 2x-7 \prec 0 &&& (3)\\
\end{matrix}\right.$

De (2) no sacamos información. De (1) deducimos que $x \prec 4$; y, de (3) vemos que $x \succ 3$. Por lo tanto, la solución es $\{3 \prec x \prec 4 : x \in \mathbb{R}\}$, que en el lenguaje de intervalos podemos notar de la forma $(3\,,\,4) \subset \mathbb{R}$
$\square$

[autoría]

Teniendo en cuenta la precisión de los datos ...

ENUNCIADO. Teniendo en cuenta la precisión de los datos ( número de cifras significativas de los mismos ),realizar las siguientes operaciones dando el resultado con la precisión adecuada:
a) $25,35+7723,1+2,035-22,256$
b) $2,25 \cdot 1,237 - 230,40 \cdot 0,024 + 15,01 \cdot 23,11$

SOLUCIÓN.
Recordemos que: a ) en una operación donde sólo hay sumas ( o restas ) el número de cifras decimales significativas que se deben mostrar en el resultado es igual al número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menor precisión ( el que tenga el menor número de cifras decimales significativas ); y, b) en una operación en la que aparezcan multiplicaciones ( o divisiones ) -- además, quizás, de sumas o restas -- el número de cifras significativas del resultado deberá ser igual al número de cifras significativas del factor de menor precisión ( de menor número de cifras significativas ). Por tanto,

a) $25,35+7723,1+2,035-22,256=7728,229 \approx 7728,2$ (1 c.d.s.)
b) $2,25 \cdot 1,237 - 230,40 \cdot 0,024 + 15,01 \cdot 23,11 = 344,13475 \approx {\bf 34}0$ ( 2 c.s.)

$\square$

[autoría]

Realizar la operación y operar en notación científica

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación dando el resultado en notación científica: $$0,00025 \cdot 0,0032$$

SOLUCIÓN. $0,00025 \cdot 0,0032=2,5\cdot 10^{-4} \cdot 3,2 \cdot 10^{-3}=(2,5 \cdot 3,2 ) \cdot 10^{-4}\cdot 10^{-3}=$
      $=8\cdot 10^{-4+(-3)}=8\cdot 10^{-7}$
$\square$

[autoría]

Simplificación de expresiones con radicales

ENUNCIADO. Simplificar $$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{8}}}$$

SOLUCIÓN. $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{8}}}=\sqrt[2\cdot 3 \cdot 2 ]{8}=\sqrt[12]{2^3}=2^{\frac{3}{12}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}$
$\square$

[autoría]

Calcular los errores absoluto y relativo ...

ENUNCIADO. Calcular los errores absoluto y relativo cometidos al tomar como valor de $\dfrac{120}{11}$ la aproximación $10,91$

SOLUCIÓN.
Error absoluto: $E\overset{\text{(def)}}{=}|x-\bar{x}|$, siendo $x$ el valor exacto y $\bar{x}$
Error relativo: $e\overset{\text{(def)}}{=}\dfrac{E}{x}$
Entonces, $E=|\dfrac{120}{11}-10,91| \approx 9,09\cdot 10^{-4}$ y $e=\dfrac{9,09\cdot 10^{-4}}{\dfrac{120}{11}}=8,\bar{3} \cdot 10^{-5} \prec 8,4 \cdot 10^{-5} = 0,0084 \, \%$
$\square$

[autoría]

Un depósito de agua ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de prisma recto de base rectangular. Se ha construido tomando en cuenta las siguientes medidas de las aristas: $4,52 \pm 0,03 \, \text{m}$, $2,14 \pm 0,01 \, \text{m}$ y $7,82 \pm 0,04 \, \text{m}$.
¿ Podemos garantizar que en dicho depósito caben $77\,229$ litros de agua ?

SOLUCIÓN. Calculemos el extremo inferior del intervalo de error del volumen del prisma, que viene dado por $$(4,52-0,03)(2,14-0,01)(7,82-0,04)=74,41 \, \text{m}^3\, ( \text{con 4 c.s.)}$$ que corresponde a $74\,410 \, \text{L}$ de capacidad, y como la cantidad de agua pedida es mayor que dicho extremo inferior, $77\,229 \succ 74\,419$, no podemos garantizar que vaya a caber en el depósito. $\square$

[autoría]

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios

SOLUCIÓN. Descomponiendo los polinomios en factores ( polinómicos ) obtenemos:
$$P(x)=(x-1)(x+1)$$
$$Q(x)=(x+1)^2$$
$$R(x)=x+1$$
por consiguiente
$$\text{m.c.d}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=x+1$$
$$\text{m.c.m}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=(x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1$$
$\square$

[autoría]

Determinar el valor de m para que el resto de la división sea cero

SOLUCIÓN. Dividiendo por el método de Ruffini encontramos
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 8 & -20 & -24 & 16\,m\\
2 & & 4 & 24 & 8 & -32\\
\hline & 2 & 12 & 4 & -16 & 16\,(m-2)\end{array}$$
luego el resto es $0$ si $m=2$
$\square$

[autoría]

Realizar la siguiente división de polinomios

ENUNCIADO.

SOLUCIÓN. Utilizando la herramienta WIRIS ( aunque se recomienda hacerlo también "a mano" ) encontramos:

[autoría]

Determinar la solución de ...

ENUNCIADO. Determinar los números enteros que son solución de la ecuación $$\dfrac{x-1}{x^4-1}+1=\dfrac{1}{x^2-1}$$ ¿ Existe, además, alguna raíz no-entera como solución de dicha ecuación ?.

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir la ecuación. Como $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$, el mínimo común múltiplo de los denominadores es $x^4-1$. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por dicho mínimo común múltiplo y simplificando llegamos a la siguiente ecuación equivalente $$x-1+x^4-1=x^2+1=0$$ Agrupando y ordenando términos obtenemos la siguiente ecuación algebraica $$x^4-x^2+x-1=0$$ cuyas soluciones son las raíces del polinomio $P(x)=x^4-x^2+x-1$. Los únicos divisores del término independiente son $-1$ y $1$, y puede comprobarse que sólo el segundo es raíz ( entera ) de $P(x)$, esto es, $r=1$; por consiguiente el polinomio $x-1$ divide a $P(x)$; con lo cual, efectuando la división $P(x) \div (x-1)$ vemos que el polinomio cociente es $x^3+x^2+1$. Así, podemos escribir $P(x)$ como el producto $(x-1)(x^3+x^2+1)$. Veamos si $Q(x):=x^3+x^2+1$ tiene alguna otra raíz entera, pues de tenerla, también lo sería de $P(x)$; las únicos números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son, otra vez, $\pm 1$, pero ninguna de ellas lo es, pues $Q(1) \neq 0$ y $Q(-1) \neq 0$, como se puede comprobar fácilmente. Así pues, ya hemos dado respuesta a la primera pregunta: la única solución entera de la ecuación pedida es $x=1$.

Veamos, ahora, si hay alguna otra raíz no-entera. Es evidente que, de haberla, tampoco puede ser racional y no-entera, pues el coeficiente del término de mayor grado de $P(x)$ es $1$, luego con la raíz encontrada antes, $r=1$, hemos encontrado todas las posibles raíces racionales. Si hay otras raíces sólo pueden ser irracionales. Examinemos esto más a fondo. La regla de los signos de Descartes nos dice que $Q(x)=x^3+x^2+1$ no puede tener ninguna raíz positiva, pues en número de variaciones de signo en la secuencia de coeficientes $(1,1,0,1)$ es cero; ahora bien, como $Q(-x)=-x^3+x^2+1$, nos dice también dicha regla que, habiendo una variación de signo en los coeficientes de $Q(-x)$ ( es decir en la secuencia $(-1,1,0,1)$ dicho polinomio ha de tener una raíz negativa. Así que, por lo dicho antes, ésta ha de ser forzosamente un número irracional, con lo que damos respuesta a la segunda pregunta.

Nota: No se nos ha pedido su valor, sólo se nos ha pedido que se razonemos acerca de si existe o no; para hallar su valor, deberíamos utilizar la fórmula de resolución por radicales de un polinomio de grado tres ( que es complicada y no la estudiamos en este curso ) o bien recurrir a un método aproximado lo cual incluye la posibilidad de 'visualizar' dicha raíz con ayuda de un gráfico, lo cual sí es apropiado para este curso. La siguiente figura ( obtenida empleando el programa GeoGebra ) ilustra la gráfica de $Q(x)$ y la raíz irracional de la que estamos hablando y cuyo valor aproximado es $-1,47$.

$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$e^x \cdot 2^x=e^3$$

SOLUCIÓN. Como $2^x$ puede expresarse de la forma $e^{x\,\ln\,2}$ ( veamos que esto es así: Sea $t:=2^x$, sacando logaritmos, $\ln\,t=x\,\ln\,2 \Rightarrow t = e^{x\,\ln\,2}$ y por tanto $2^x$ es lo mismo que $e^{x\,\ln\,2}$ ) podemos escribir la ecuación pedida con todos las potencias de la misma base $$e^x \cdot e^{x\,\ln\,2} =e^3$$ jpor las propiedades de las potencias, lo podemos escribir así $$e^{x+x\,\ln\,2}=e^3$$ e igualando, necesariamente, los exponentes ( pues de otro modo no se puede cumplir la igualdad ) nos queda que $$x+x\,\ln\,2=3$$ de donde $$x\,(1+\ln\,2)=3$$ y despejando la variable $$x=\dfrac{3}{1+\ln\,2}$$
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Resolver ...

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\sqrt{x-1}$$

SOLUCIÓN. Elevando al cuadrado en cada miembro $$\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)^2=(\sqrt{x-1})^2$$ obtenemos la ecuación equivalente $$x+1-2\sqrt{x(x+1)}+x=x-1$$ agrupando y simplificando $$x+2=2\,\sqrt{x(x+1)}$$ Volviendo a elevar al cuadrado ambos miembros $$x+2=4\,x^2+4x$$ agrupando $$4\,x^2+3\,x-2=0$$ y por tanto $$x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-4\cdot (-2)\cdot 4}}{2 \cdot 4}=\dfrac{-3\pm \sqrt{41}}{8}$$
$\square$

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Aproximar de forma que ...

ENUNCIADO. Aproximar el número $21,7289$ con un error menor que una milésima.

SOLUCIÓN. Denotemos por $\bar{x}$ el resultado de la aproximación pedida. Entonces $$|21,7289-\bar{x}|\prec 0,001 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
21,7289 - \bar{x} \prec 0,001 \\
\text{ó} \\
-(21,7289 - \bar{x})\prec 0,001 \\
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\bar{x} \succ 21,7289-0,001 \\
\text{ó} \\
\bar{x}\prec 21,7289+0,001 \\
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\bar{x} \succ 21,7279 \\
\text{ó} \\
\bar{x}\prec 21,7299 \\
\end{matrix}\right.$$
y por tanto concluimos que $\bar{x}$ puede tomar cualquier valor comprendido en el intervalo $(21'7279\,,\,21'7299)$
$\square$

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Resolver la siguiente ecuación

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $a^x=1$, siendo $a$ cualquier número real distinto de cero.

SOLUCIÓN. Como $1=a^0$, podemos escribir la ecuación pedida de la forma $$a^x=a^0$$ luego los exponentes deberán ser iguales, por tanto $$x=0$$
$\square$

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Resolver la siguiente ecuación logarítmica

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$\ln\,(x+1)=\ln\,(2\,x)$$

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1.
Como las bases de los logaritmos de ambos miembros son las mismas, los argumentos han de ser iguales $$x+1=2\,x $$ agrupando términos semejantes $$2\,x-x=1$$ y, por tanto, $$x=1$$

Procedimiento 2.
Agrupando en el primer miembro $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=0$$ y como $\ln\,1=0$ podemos escribir $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=\ln\,1$$ Por las propiedades de los logaritmos queda $$\ln\,\left(\dfrac{x+1}{2\,x}\right)=\ln\,1$$ luego deberá cumplirse que los argumentos de los logaritmos de los dos miembros sean iguales ( pues la base de estos es la misma ), con lo cual llegamos a $$\dfrac{x+1}{2\,x}=1$$ que podemos expresar de la forma $$x+1=2\,x $$ concluyendo que $$x=1$$


$\square$

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¿ Cuántas cifras decimales son correctas en la aproximación .... ?

ENUNCIADO. Hemos aproximado el número $7,891654$ por $7,891$ ( por truncamiento, a partir de la cuarta cifra decimal ). ¿ Cuántas cifras ( de la parte decimal ) de $7,891$ son correctas ?

SOLUCIÓN. Recordemos que $n$ cifras de la parte decimal del resultado de una aproximación son correctas si el error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra considerada, esto es, si $E \prec \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$. Como $E=|7,891654-7,891|=0,000654 \prec 0,005 = \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-{\bf 2}} $ concluimos que, como $n=2$, sólo las dos primeras cifras de la parte decimal son correctas. $\square$

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Discutir y resolver ...

ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones dado por una única ecuación $$x-y+z=1$$

SOLUCIÓN. Como hay tres variables y el sistema consta de una sola ecuación, el sistema es compatible indeterminado, con $3-1=2$ variables secundarias. Elijamos tres de las variable como variables secundarias, pongamos que $y$ y $z$, denotándolas de la forma $\alpha:=y$ y $\beta:=z$, con lo cual podemos escribir $$x=1+\alpha-\beta$$ Como podemos dar valores arbitrarios ( infinitos valores ) a $\alpha$ y a $\beta$, describimos, pues, la solución como el conjunto de infinitas ternas de números reales dado por $$\{(1+\alpha-\beta,\alpha,\beta): \alpha,\beta \in \mathbb{R}\}$$ que interpretamos como puntos de un plano en el espacio tridimensional.

Nota: $\alpha$ y $\beta$ hacen el papel de parámetros en la estructura general de la solución. El que encontremos dos parámetros se corresponde con la noción ( geométrica ) de que un plano se entienda como un conjunto de puntos con dos grados de libertad, pues al imaginar que recorremos todos estos puntos podemos pensar que lo podemos hacer eligiendo dos direcciones básicas.
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Clasificar y resolver ...

ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución )
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&+&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&-1\\
x&+&y&+&z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Observemos que de la primera ecuación y de la tercera ecuación se deduce que $0=1$, lo cual es absurdo, luego debemos concluir que el sistema es incompatible ( no tiene solución ), y hemos terminado.

Nota: Como cada una de las ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos esta situación ( de incidencia de tres planos), dos de los cuales son paralelos no-coincidentes en el espacio tridimensional.

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Clasificar y resolver ...

ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución )
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&0\\
x&+&2\,y&-&2\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Reduciendo el sistema por Gauss podremos saber cuál es el número de ecuaciones linealmente independientes ( es decir, el rango del sistema ). Para ello, realizamos las operaciones elementales ( combinaciones lineales ) entre ecuaciones que sean necesarias para escalonar el sistema.

Primer etapa:

las siguientes combinaciones lineales
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
$-2\,e_2 + e_1 \rightarrow e_2$
nos llevan a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

Segunda etapa:

Con la combinación lineal
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
obtenemos el escalonamiento de ceros deseado

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&{\bf 0}\cdot y&+&0 \cdot z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$


Contabilizando el número de ecuaciones ( de este sistema equivalente ) que son identicamente no-nulas, vemos que sólo son dos ( la primera y la segunda ), esto es, el rango del sistema, $r$, es $2$. Como estas dos ecuaciones son compatibles entre sí, el sistema es compatible ( tiene solución ); y, teniendo en cuenta que el número de incógnitas, $n$, que es $3$, es menor que el rango, concluimos que el sistema es compatible indeterminado ( ha de tener infinitas soluciones ). Veamos a continuación cómo están ligadas estas infinitas soluciones; para ello, debemos entender que de las $3$ incógnitas ( variables ), $n-r$ deben tomar el papel de variables secundarias, por lo que hay $3-2=1$ variable secundaria, cuyos valores en la solución los podremos elegir libremente; y, $r=2$ variables principales. Elijamos ahora una de las tres variables como secundaria ( da lo mismo cuál de ellas escogemos ): pongamos que $z$; y, para remarcar su carácter ( de variable secundaria ), la denotaremos por $\lambda$ ( es decir, designamos $z:=\lambda$ ). Hecho esto, escribamos el sistema de ecuaciones equivalente ( y reducido por Gauss ):

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&\lambda&=&1\\
&&3\,y&-&3\,\lambda&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

donde hemos ya prescindido de la última ecuación, que es trivial ( no aporta información alguna ). Trasladando al segundo miembro los términos que dependen de $\lambda$, llegamos a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&=&1+\lambda\\
&&3\,y&=&1+3\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$

Despejando ahora $y$ de la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{1}{3}+\lambda$$ y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos la forma que debe tener $x$ ( en función de $\lambda$ ) $$2\,x+\dfrac{1}{3}+\lambda=1+\lambda$$ es decir $$2\,x=1-\dfrac{1}{3}+\lambda-\lambda$$ simplificando y despejando $x$ del primer miembro $$x=\dfrac{1}{3}$$ con lo cual concluimos que la solución del sistema de ecuaciones son las infinitas ternas ( por ternas de números podemos entender puntos en el espacio tridimensional ) $$\{(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}+\lambda,\lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$

Nota: Como cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos la solución como los infinitos puntos de una recta ( que es el resultado de la intersección de los tres planos ). El que estos infinitos puntos alineados dependan de un parámetro, encaja con la noción de que una recta tiene un grado de libertad ( geométrica ).
$\square$

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Resolver la ecuación trascendente ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $x^{x^2-1}=x^3$

SOLUCIÓN. Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,(x^{x^2-1})=\ln\,(x^3)$$ y por las propiedades de los logaritmos $$(x^2-1)\,\ln\,x=3\,\ln\,x$$ agrupando en un sólo miembro $$(x^2-1)\,\ln\,x-3\,\ln\,x=0$$ y por la propiedad distributiva $$(\ln\,x)\, \left( (x^2-1)-3 \right)=0$$ esto es $$(\ln\,x) \left( x^2-4 \right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\ln\,x = 0 \Leftrightarrow x=1 & \\
\\
\text{ó}
\\
x^2-4 = 0 \Leftrightarrow x=\pm\,2 & \\
\end{matrix}\right.$$ encontrando, por tanto, tres valores como solución de dicha ecuación trascendente: $\{-2\,,\,1\,,\,2\}$
$\square$

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