Aproximar y calcular el error

ENUNCIADO. Se aproxima el número $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ por $\bar{x}=1,62$. Se pide:

a) El error absoluto, $E$
b) El error relativo, $e$
c) Una cota del error absoluto, $\Delta$
d) Una cota del error relativo, $\varepsilon$

SOLUCIÓN.
La expresión decimal del número, $x$ ( que reconocemos como el número de áureo $\phi$ ) es $1,618033989\cdots$. Así, el error absoluto cometido en la aproximación es $E\overset{\text{def}}{=}|x-\bar{x}|=|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62|\overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 < 0,005$, luego tomamos $\Delta=0,005$, que es la cota convenida para aproximaciones por redondeo -- que es el caso de esta aproximación -- y que corresponde a media unidad del orden de la última cifra considerada ( la de las centésimas ).

$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{0,002}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 =0,2\,\% $


$\square$

Calcular el tiempo necesario y la TAE

ENUNCIADO. Un capital de $4\,500,00$ euros se quiere aumentar en un $10\,\%$. Para ello, se coloca al $1,5\,\%$ de interés ( compuesto ) anual, liquidando los intereses cada tres meses. ¿ Cuánto tiempo debe permanecer depositado dicho capital ? ¿ Cuál es la TAE ?.

SOLUCIÓN.
El capital final es $C_{\text{final}}=4500,00+4500,00\cdot0,1=1,1\cdot 4500,00=4950,00$ euros . Como el periodo de liquidación de intereses es trimestral, la frecuencia de dicha operación es $f=\dfrac{12}{3}=4$. Entonces, de la fórmula del capital final a interés compuesto, $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot \left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ donde $t$ denota el número de años; y, poniendo los datos, $$4950=4500\cdot \left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^{4t}$$ esto es $$\dfrac{11}{10}= \left(1,00375\right)^{4t}$$ Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,\dfrac{11}{10}=4t\,\ln\,{1,00375}$$ de donde, despejando $t$, $$t=\dfrac{\ln\,\frac{11}{10}}{4\cdot \ln\,1,00375}\approx 6,37\,\text{años} \approx 6\,\text{años y}\,5\,\text{meses}$$

Por último, procedemos a calcular la tasa anual equivalente: $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^f-1$$ que, con los datos del problema, es igual a $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^4-1\approx 0,0151 = 1,51\,\%$$

$\square$

Hacer los siguientes cálculos acerca de un préstamo

ENUNCIADO. Se desea comprar un piso cuyo precio es de $350\,000$ euros. Se quiere pagar de la siguiente manera: con unos ahorros, un pago inicial del $30\,\%$ del total; y, para pagar la cantidad restante, se pide un préstamo hipotecario a un banco, al $2\,\%$ de interés anual, a pagar en cuotas mensuales durante $20$ años. Se pide:

a) El valor de dichas mensualidades

b) ¿ Qué parte de la primera mensualidad corresponde al pago de intereses y qué parte corresponde a la amortización de capital ? ¿ Cuál es el montante de la deuda tras realizar el pago de la primera mensualidad ?.

SOLUCIÓN.
a)
Teniendo en cuenta la fórmula de la cuota, $q$, de amortización de un préstamo, $P$, $$q=P\cdot \dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}\cdot \dfrac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
El valor del préstamo es igual a $(1-0,3)\cdot 350\,000=245\,000$ euros; $i=0,02$; $t=20$ años; y, al tratarse de cuotas mensuales ( liquidación de intereses doce veces al año ), $f=12$; por tanto,
$$q=245\,000\cdot \dfrac{\left(1+\frac{0,02}{12}\right)^{20\cdot 12}\cdot \dfrac{0,02}{12}}{\left(1+\frac{0,02}{12}\right)^{20\cdot 12}-1}\approx 1239,41\; \text{euros}$$

b)
La parte de la 1.ª mensualidad destinada al pago de intereses es $$1239,41 \cdot 0,02=24,79\;\text{euros}$$ y la parte destinada a la amortización de capital $$1239,41 \cdot (1-0,02)=1241,63\;\text{euros}$$ por lo que el montante de la deuda en ese momento es igual a $$245\,000-1241,63=243\,785,37\;\text{euros}$$
$\square$

Resolver la siguiente ecuación cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{x^2-1}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando por $\text{m.c.m}(x-1,x+1,x^2-1)=\text{m.c.m}(x-1,x+1,(x-1)(x+1))=(x-1)(x+1)$ en ambos miembros de la ecuación, transformamos esta en una ecuación polinómica $$(x-1)(x+1)\dfrac{x}{x-1}-(x-1)(x+1)\,\dfrac{x}{x+1}=(x-1)(x+1)\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$$
$$x(x+1)-(x-1)x=1$$
$$x^2+x-x^2+x=1$$
$$2x=1$$
$$x=\dfrac{1}{2}$$
$\square$

Plantear y resolver el sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. La suma de tres números racionales es $1$; la diferencia entre la suma de los dos primeros y el tercero es $0$, y la diferencia entre la suma de los dos últimos y el primero es $2$. ¿ De qué números estamos hablando ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$, $y$, $z$ el primer, segundo y tercero de los números pedidos. Entonces,
$$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
x &+&y&-&z&=&0 \\
y &+&z&-&x&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
esto es
$$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
x &+&y&-&z&=&0 \\
-x &+&y&+&z&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones $$e_1-e_2 \rightarrow e_2$$ $$e_3+e_2 \rightarrow e_3$$ transformamos este sistema en el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
&&&&2z&=&1 \\
&&2y&&&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la tercera ecuación, y $z$ de la segunda $$y=1$$ $$z=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo, finalmente, dichos valores en la primera $$x+1+\dfrac{1}{2}=1$$ con lo cual, despejando $x$ de esta ecuación $$x=-\dfrac{1}{2}$$
$\square$

Calcular las raíces del polinomio y expresarlo como producto de factores polinómicos primos

ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$P(x)=2\,x^4-x^3-14\,x^2+19\,x-6$$

ENUNCIADO. Primero, trataremos de encontrar raíces racionales, que, por las propiedades estudiadas, sólo pueden ser aquellas cuyo numerador sea algún divisor de $-6$ ( el término independiente del polinomio ) y cuyo denominador sea algún divisor del coeficiente del término de mayor grado, que es $2$.

Vemos que $\text{div}(-6)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\}$ y $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$, luego las posibles raíces racionales ( incluidas las enteras ) son $$\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\,,\,\pm\dfrac{1}{2}\,,\,\dfrac{3}{2}\}$$

Empleando el teorema del resto, y dividiendo por Ruffini, vamos a ir probándolas. Observemos que $\text{resto}(P(x)\div (x-1))=0$ y, por tanto, una primera raíz es $r_1=1$; en efecto $$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & -1 & -14 & 19 & -6\\
1 & & 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline & 2 & 1 & -13 & 6 & 0\end{array}$$

entonces, por el teorema del factor, $$P(x)=(x-1)(2x^3+x^2-13x+6)$$ Las otras raíces de $P(x)$ ( si las hay ) deberán ser raíces de $2x^3+x^2-13x+6$. Podemos comprobar ( dividiendo otra vez por $(x-1)$ ) que el resto de $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-1)$ es distinto de $0$, por lo que $r_1=1$ sólo aparece una vez, con lo cual su multiplicidad es $1$. Probemos, a continuación el valor $2$, como posible raíz: al dividir $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-2)$ obtenemos resto igual a $0$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6 \\
2 & & 4 & 10 & -6\\
\hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$$

luego otra raíz es $r_2=2$, y ( otra vez ) por el teorema del factor $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x^2+5x-3)$$ Vemos, finalmente, si el polinomio remanente $2x^2+5x-3$ tiene, a su vez, raíces ( que serán también de $P(x)$ ); para ello, imponemos la condición necesaria $$2x^2+5x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot (-3)\cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}
1/2
\\
\text{ó}
\\
-3
\end{matrix}\right.$$
Por tanto $$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)\left(x-(-3)\right)$$ esto es
$$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)(x+3)$$
que es la respuesta a la segunda pregunta ( factorización de $P(x)$ ).

NOTA: Observemos que ha sido necesario, multiplicar por el factor $2$, para ajustar el producto de factores, pues ( recordemos que ) el coeficiente del término de mayor grado no es $1$ sino $2$.

También podemos dar el polinomio de la forma $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x-1)(x+3)$$

$\square$

Actualización de un precio, acorde con la variación del IPC

ENUNCIADO. Suponiendo que la variación anual del IPC haya sido del $-1,2\,\%$ ( en el grupo de Vivienda ), y que el precio del alquiler mensual de un apartamento hubiese sido de $400,00$ euros al mes durante el año anterior, ¿ cuál sería el precio del alquiler de dicho apartamento durante el presente año, adecuado a la variación del IPC ?

SOLUCIÓN.
$400,00 \cdot ( 1-0,012 )=400\,00 \cdot 0,988 = 395,20$ euros al mes.
$\square$

Cotas de error e intervalo de error

ENUNCIADO. Se considera la siguiente operación $b=\dfrac{1000}{a}$, donde $a=0,002\pm 0,001$. Dar una cota del error absoluto y una cota del error relativo de $b$, y el intervalo de error de $b$ a partir de estas cotas.

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que la operación es un cociente y que el numerador se considera una constante ( no afectada de error ) una cota de error relativo de $b$ es $$\epsilon_b=\epsilon_a$$ siendo $$\epsilon_a\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,001}{0,002}=\dfrac{1}{2}$$ luego, de la definición $\epsilon_b\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_b}{b}$, y siendo $b=\dfrac{1000}{0,001}=1\,000\,000$, la cota correspondiente de error absoluto de $b$ es $$\Delta_b = \epsilon_{b}\,b=\dfrac{1}{2}\cdot 1\,000\,000=500\,000 $$ Por consiguiente $$b=1\,000\,000 \pm 500\,000$$ esto es $$b \in ( 1\,000\,000-500\,000\,,\,1\,000\,000+500\,000)=(500\,000\,,\,1\,500\,000)$$
$\square$

[autoría]

Tanto por ciento (tasa) de variación

ENUNCIADO. De un tiempo a esta parte, la variación en el precio de un servicio ha sido del $-3,5\,\%$. Si antes costaba $2,00$ euros, ¿ cuánto cuesta ahora ?.

SOLUCIÓN. Denotando por $x$ la cantidad pedida y planteando la siguiente proporción $$\dfrac{100+(-3,5)}{100}=\dfrac{x}{2,00}$$ esto es $$\dfrac{96,5}{100}=\dfrac{x}{2,00}$$ de donde, despejando $x$, obtenemos $$x=\dfrac{96,5 \cdot 2}{100}=1,93 \; \text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Resolver el siguiente problema

ENUNCIADO. La suma de un número más cinco veces el inverso de otro es 2. Por otro lado, el segundo número más el cuádruple del primero es 9. ¿ Cuáles son dichos números ?.

SOLUCIÓN. Sean $x$ e $y$ dichos números, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones ( una de las cuales no es lineal ) $$\left\{\begin{matrix}
x &+&5\cdot \dfrac{1}{y}&=&2 \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ y simplificando $$\left\{\begin{matrix}
x\,y &+&5&=&2\,y \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda y sustituyendo la expresión que obtengamos ( en función de $x$ ) en la primera ecuación llegamos a $$x\,(9-4x)+5=2\,(9-4x)$$ simplificando, sumando términos semejantes y ordenándolos $$4x^2-17x+13=0$$ cuya solución viene dada por $$x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\\
\dfrac{13}{4}
\end{matrix}\right.$$

Entonces:
Si $x=1$, $y=9-4\cdot 1=5$
Si $x=\dfrac{13}{4}$, $y=9-4\cdot\dfrac{13}{4}=-4$

Resumiendo, la solución viene dada por estas dos parejas de valores $(x,y)$: $$\{(1\,,\,5)\,,\,(\dfrac{13}{4}\,,\,-4) \}$$

$\square$

[autoría]

Inflación

ENUNCIADO. En el año 2011, la inflación fue del $3,2\,\%$. Al finalizar el año, ¿ a cuánto podríamos decir que equivalían $10$ euros ?

SOLUCIÓN. Recordemos que por inflación debe entenderse la disminución del valor del dinero en relación a los bienes y servicios que se pueden adquirir con él. Entonces, denotando por $x$ a la cantidad pedida, y planteando la proporción $$\dfrac{100-3,2}{100}=\dfrac{x}{10}$$ obtenemos $$x=9,68 \; \text{euros}$$

[autoría]

Interés compuesto. ¿ Durante cuánto tiempo ... ?

ENUNCIADO. ¿ Cuántos años debemos tener una cierta cantidad de dinero en una cuenta bancaria, a un interés ( compuesto ) del 5%, para que se doble dicha cantidad ? ( Considerar que los intereses se liquidan una vez al año )

SOLUCIÓN.
Siendo $C_0$ el capital inicial, $$2\,C_0=C_0\cdot(1+0,05)^t$$ esto es $$2=(1+0,05)^t$$ y sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,2=t\,\ln\,1,05$$ de donde, despejando $t$, obtenemos $$t=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,1,05} \approx 15 \; \text{años}$$
$\square$

[autoría]

Calcular la TAE

ENUNCIADO. Depositamos una cierta cantidad de dinero en una cuenta bancaria remunerada ( con los intereses ), a una tasa de interés anual del $3\,\%$, durante un cierto número de años, y con una frecuencia de liquidación de intereses: a) anual ( cada 12 meses ), b) trimestral y c) mensual. Calcular la Tasa Anual Equivalente ( TAE ) en cada uno de estos casos.

SOLUCIÓN.
Procedemos a aplicar la fórmula para el cálculo de la Tasa Anual Equivalente:
a) Si la frecuencia de liquidación es de $12$ veces al año, $f=1$, $TAE=I$ ( como ya hemos comentado en la observación ); en efecto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{1}\right)^{1}-1=0,03=3\,\%$$

b) Si la frecuencia de liquidación es trimestral, es decir, se ésta se realiza $\dfrac{12}{3}=4$ veces al año, $f=4$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{4}\right)^{4}-1=0,0303 \approx 3,03\,\%$$

c) Si la frecuencia de liquidación es mensual, esto es, la liquidación se realiza $\dfrac{12}{12}=1$ vez al año, $f=12$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{12}\right)^{12}-1=0,0304 \approx 3,04\,\%$$
$\square$

Observación:
En este ejemplo comprobamos que el valor de la TAE crece conforme la frecuencia de liquidación de intereses aumenta, y viceversa.

[autoría]

Cálculo de la cantidad a pagar, conociendo el porcentaje de descuento y el porcentaje de impuesto

ENUNCIADO. Compramos un artículo que está rebajado en un $10\,\%$ sobre el precio de referencia, que es de $35,00$ euros; y, además, se debe cargar sobre dicho precio un impuesto del $21\,\%$. ¿ Cuánto nos costará ?
SOLUCIÓN. Aplicando los porcentajes encadenados del descuento y del impuesto, y redondeando al céntimo el resultado: $$\dfrac{100-10}{100}\cdot \dfrac{100+21}{100} \cdot 35,00 = 38,12 \quad \text{euros}$$ $\square$

[autoría]

Calcular el precio de referencia conociendo la cantidad pagada, el porcentaje de descuento y el porcentaje de impuesto

ENUNCIADO. Hemos compramos un artículo y nos ha costado $52,70$ euros, habiéndose aplicado un $5\,\%$ de descuento y un impuesto del $21\,\%$ sobre el precio de referencia del mismo. ¿ Cuál es dicho precio de referencia ?
SOLUCIÓN. Aplicando los porcentajes encadenados para deducir el descuento y el impuesto, y redondeando al céntimo el resultado: $$\dfrac{100}{100-5}\cdot \dfrac{100}{100+21} \cdot 52,70 = 45,85 \quad \text{euros}$$ $\square$

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Poblaciones

ENUNCIADO. Sabemos que una cierta población evoluciona de forma geométrica ( o exponencial ). La tasa anual de crecimiento de natalidad de la población es del $3\,\%$ y la tasa anual de mortalidad es del $1\,\%$. Se sabe que estas tasas se mantienen aproximadamente constantes, en décadas. Hace cuatro años, la población era de $2500$ personas. ¿ Cuál es el número de personas de dicha población en la actualidad ?.
SOLUCIÓN. La tasa ( efectiva ) de crecimiento se calcula encadenando las tasas de natalidad y de mortalidad, y es igual a $$\dfrac{100+3}{100}\cdot \dfrac{100-1}{100}=\dfrac{10197}{10000} = 1,0197$$ por lo que al ser aplicada cuatro años consecutivos nos da una población de $$2500\cdot (1,0197)^4 \approx 2703 \; \text{personas}$$ \par
$\square$

[autoría]

Calcular el beneficio, a interés simple ...

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el beneficio que se obtiene, a interés simple, imponiendo $500,00$ euros a una tasa de interés anual ( rédito ) del $2\,\%$ durante $950$ días ? ¿ Cuál es la cantidad de dinero que podremos obtener en total ?

SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés simple $$I=C_{0}\cdot i \cdot t$$ y teniendo en cuenta que, por convenio, el año comercial es de $360$ días encontramos , vemos que ( redondeando al céntimo ) el interés producido es $$I=500,00\cdot 0,02 \cdot \dfrac{950}{360} = 26,39 \; \text{euros}$$ y la cantidad total de dinero es $$500,00+26,39=526,39 \; \text{euros}$$ \par
$\square$

[autoría]

Calcular el capital final a interés compuesto ...

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el capital final que se obtiene, a interés compuesto, imponiendo $500,00$ euros a una tasa de interés anual ( rédito ) del $2\,\%$ durante $950$ días, si los intereses se liquidan cada tres meses ? ¿ Qué beneficio ( interés ) se obtiene ?

SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés compuesto $$C_{\text{final}} \equiv C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ con frecuencia de liquidación de intereses $f=\dfrac{12}{3}=4$, encontramos que ( redondeando al céntimo ), el capital final es $$500,00\cdot \left( 1+\dfrac{0,02}{4} \right)^{\frac{950}{360}\cdot 4} = 527,03 \;\text{euros} $$ y el beneficio ( interés total ) es igual a $$527,03-500,00=27,03 \;\text{euros}$$ \par
$\square$

[autoría]

Calcular la cantidad capitalizada ...

ENUNCIADO. Establecemos un plan de capitalización, consistente en ingresar $2000$ euros cada año ( cada principio de año ), durante $10$ años, a una tasa de interés anual del $3\,\%$. ¿ Cuál será el capital al término de dicho plan ?. \par \vspace*{0,2cm} \noindent
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cantidad a capitalizar $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y con los siguientes datos:
$q=2\,000$ euros \par
$t=10$ años\par
$i=0,03$\par
$f=1$\par
obtenemos
$$C=2000\cdot(1+\dfrac{0,03}{1})\cdot\left(\frac{(1+\frac{0,03}{1})^{1\cdot 10}-1}{\frac{0,03}{1}}\right)=23\,615,59\; \text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Amortización de un préstamo

ENUNCIADO. Un empresario ha pedido un préstamo de $40\,000$ euros a un banco, con una tasa de interés anual del $5\,\%$, a devolver en $3$ años. ¿ Cuál es el importe de la cuota anual ?.


SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
y con los siguientes datos:
$C=40\,000$ euros \par
$t=3$ años\par
$i=0,05$\par
$f=1$\par
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=40\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1} \cdot \frac{0,05}{1}}{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1}-1}=14\,686,34\;\text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Hipoteca inversa

ENUNCIADO. Al cumplir $65$ años, una mujer se jubila, y decide contratar un una pensión hipotecaria ( o hipoteca inversa ), a una tasa de interés anual del $4\,\%$, con el fin de complementar su pensión de jubilación ( que prevé escasa para satisfacer sus necesidades ). Para negociar con el banco, cuenta con su vivienda, que está tasada en $200\,000$ euros ( habiendo llegado a un acuerdo previo con sus herederos para que éstos rescaten la vivienda después de su muerte, pagando al banco el préstamo recibido de dicha entidad ); a cambio, recibirá del banco una cantidad mensual durante el resto de su vida. Según los estudios estadísticos, se estima que la esperanza de vida para una mujer ( a partir de los 65 años ), es de $22,57$ años \footnote{Este tipo de datos pueden consultarse en el INE ( Instituto Nacional de Estadística )}. ¿ Cuál es la cantidad mensual que recibirá ?.

SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$ donde $C=200\,000$ euros; $t=22,57$ años; $f=12$ ( la liquidación de intereses se efectúa cada mes, esto es, $12$ veces al año ), e $i=0,04$ ( tasa de interés anual ). En estas condiciones, la señora percibirá la siguiente cuota mensual, hasta el momento de su fallecimiento: $$q=500\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12} \cdot \frac{0,04}{12}}{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12}-1} = 1122,41\;\text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Determinar cuáles son los números reales que satisfacen la desigualdad

ENUNCIADO. Resolver la inecuación
$$-5x+2\le 3$$

SOLUCIÓN

$-5x+2\le 3$

  $-5x + 2 -2 \le 3-2$

    $-5x \le 1$

      $ 5x \ge -1$

        $ x \ge -\dfrac{1}{5}$

por tanto la solución de la inecuación es siguiente conjunto de números
$$\{x \in \mathbb{R}: x \ge -\dfrac{1}{5}\}$$
esto es la semirrecta
$$[-\dfrac{1}{5}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$$

$\square$

[autoría]

Resolver el sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Clasificar según la solución y resolver, si procede, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, interpretando la ( posible ) solución desde el punto de vista geométrico:
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$


SOLUCIÓN
Mediante combinaciones lineales entre filas procederemos a obtener un sistema equivalente que tenga un escalonamiento de $0$s en los coeficientes de las ecuaciones ( del sistema reducido por Gauss ), que nos permitirá saber cuántas ecuaciones de las dadas son linealmente independientes ( rango del sistema ), viendo con ello si el sistema es incompatible ( no tiene solución ) o bien compatible ( tiene solución ), y en cuyo caso, si a cada variable le corresponde un sólo valor como solución ( compatible determinado ) o bien le corresponden infinitos valores, aunque con una cierta estructura que los liga ( sistema compatible indeterminado ). Finalmente, si procede encontraremos la solución.
Empecemos. A partir del sistema original
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
y mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones
$$\left.\begin{matrix}
-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obtenemos el siguiente sistema equivalente
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&y&-&6\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\} $$
que acabamos de escalonar haciendo
$$\left.\begin{matrix}
2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obteniendo
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&&-&14\,z=&14 \\
\end{matrix}\right\} $$
sistema escalonado por Gauss que tiene $3$ ecuaciones linealmente independientes, luego el rango del sistema de ecuaciones es $3$; y, como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. Veamos cuál es. De la última ecuación, despejamos $z$ sin dificultad, obteniendo $z=-1$; sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación del sistema reducido llegamos a $y=-3$. Y, finalmente, sustituyendo $z=-1$ e $y=-3$ en la primera ecuación y despejando la incógnita $x$ resulta $x=1$.
Y se comprueba fácilmente que la solución ( que representa un punto del espacio tridimensional ) satisface las tres igualdades originales.
$\square$

[autoría]

Resolver el sistema de ecuaciones no-lineales

ENUNCIADO. Resolver $$\left\{\begin{matrix}
x^2 &+&y^2&=&9\\
-x^2 &+&y^2&=&7
\end{matrix}\right.$$
Sumando ( miembro a miembro ) ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación ( compatible ) con las dos ecuaciones originales $$2\,y^2=16$$ que, simplificada, es $$x^2=8$$ y, por tanto, $$y=\left\{\begin{matrix}
|\sqrt{8}|\\
\text{ó}\\
-|\sqrt{8}|\\
\end{matrix}\right.$$ Entonces:

(1) Si $y=|\sqrt{8}|$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$

(2) Si $y=-|\sqrt{8}|$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos ( igual que en (1) ) que $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$

Luego la solución del sistema de ecuaciones pedido viene dada por los siguientes pares "(x,y)" $$\{\, (-1\,,\,|\sqrt{8}|)\,,\,(-1\,,\,-|\sqrt{8}|)\,,\,(1\,,\,-|\sqrt{8}|)\,,\,(1\,,\,|\sqrt{8}|)\,,\, \,\}$$

$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver
$$x^4-7x^2+12=0$$

SOLUCIÓN. Al tratarse de una ecuación bicuadrada, procedemos a realizar la siguiente transformación $$t:=x^2$$ que nos permite reescribirla como una ecuación cuadrática $$t^2-7t+12=0$$ Resolviendo esta ecuación $$t=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2 \cdot 1}=\dfrac{7\pm1}{2}=\left\{\begin{matrix}
4 \\ \\
3
\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo, ahora, la transformación:
Si $t=4$, entonces $x=\sqrt{4}=\pm 2$
Si $t=4$, entonces $x=\sqrt{3}=\pm |\sqrt{3}|$
Es decir, la solución de la ecuación pedida consta de los siguientes valores $$\{-2\,,\,-|\sqrt{3}|\,,\,2\,,\,|\sqrt{3}|\}$$

$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación
$$\dfrac{x}{x^2-9}=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$

SOLUCIÓN. Para encontrar una ecuación equivalente, más sencilla, descomponemos en factores ( polinómicos ) primos los polinomios que aparecen en las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación ( en este caso, podemos hacerlo simplemente utilizando identidades notables ):

$x^2-9=(x-3)(x+3)$
$x-3$ es un polinomio primo
$x^2-6x+9=(x-3)^2$

Por tanto
$\text{m.c.m.}(x^2-9\,,\,x-3\,,\,x^2-6x+9)=$
  $=\text{m.c.m.}\left((x-3(x+3)\,,\,x-3\,,\,(x-3)^2\right)=(x-3)^2(x+3)$

Multiplicando por el mínimo común múltiplo en cada miembro de la ecuación original $$(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{x}{x^2-9}=(x-3)^2(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
es decir $$\dfrac{(x-3)^2(x+3)x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{x-3}+\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{(x-3)^2}$$ y simplificando $$x(x-3)=(x-3)(x+3)+(x+3)$$ esto es $$x^2-3x=x^2-9+x+3$$ y por tanto $$6=4x$$ luego $$x=\dfrac{3}{2}$$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$$

SOLUCIÓN.

$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$

  $(\sqrt{x-1}+1)^2=(\sqrt{1-x})^2$

    $\sqrt{x-1}+2\,\sqrt{x-1}+1=1-x$

      $x+2\,\sqrt{x-1}=1-x$

        $2\,\sqrt{x-1}=1-2\,x$

          $(2\,\sqrt{x-1})^2=(1-2\,x)^2$

            $4\,(x-1)=1-4\,x+4\,x^2$

              $4\,x-4=1-4\,x+4\,x^2$

                $4\,x^2-8\,x+5=0$

                $x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 4 \cdot 5}}{ 2 \cdot 4}$

                  $=\dfrac{8\pm \sqrt{-16}}{8} \notin \mathbb{R}$

$\square$

[autoría]

Interés simple

Deducción de la fórmula del interés simple

Denotamos por:


$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}$: capital final
$t$: número de años en depósito a interés simple
$i$: tasa de interés anual ( en tanto por unidad ), esto es, $i=\dfrac{r}{100}$ ( siendo $r$ el rédito anual, en tanto por ciento )
$I$: interés ( final ) obtenido

Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, sin que ello entrañe pérdida de generalidad en lo que vamos a obtener. Entonces:

al término del primer año obtenemos un interés igual a $i$
al término del segundo año, obtenemos un interés acumulado igual a $2\,i$
al término del tercer año, $3\,i$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año, tendremos un interés final igual a $t\cdot i$

Luego, para $C_0 \neq 0 $ ( y, por supuesto, mayor que $0$ ), el interés total, $I$, viende dado por la expresión ( fórmula ) $$I=C_0 \, i\, t$$

Por consiguiente, el capital final, $C_{\text{final}}$, viene dado por la expresión $$C_{\text{final}}=C_0+I$$ esto es $$C_f=C_0(1+i\,t)$$

NOTA: En este modelo de interés ( simple ) -- el interés generado, período a período, crece de forma lineal ( según una sucesión aritmética ) -- no importa cuál sea el valor de la frecuencia de liquidación de los intereses en el intervalo de $1$ año, $f$; en efecto, si $f \succ 1$, tenemos que $$C_{\text{final}}=C_0(1+\frac{i}{f}\cdot t\cdot f)=C_0(1+i\,t)$$ que es lo mismo que si $f=1$.
$\square$

[autoría]

Fórmula del capital final ( a interés compuesto )

Deducción de la fórmula del capital final a interés compuesto

Denotamos por:

$C(j)$: capital al término del $j$-ésimo año ( $j=0,1,\ldots,t$ )
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}:=C(t)$: capital final
$t$: número de años en depósito
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, y que $f=1$. Entonces:

al término del primer año obtenemos: $C(1)=1+i$
al término del segundo año: $C(2)=C(1) \cdot (1+i)=(1+i)^2$
al término del tercer año: $C(3)=C(2) \cdot (1+i)=(1+i)^3$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año: $C(t)=C(t-1) \cdot (1+i)=(1+i)^t$

Luego el capital final, $C_{\text{final}}$, producido en estas condiciones ( los términos de la sucesión $[C(j)]$ crecen ( $1+i \succ 0$ ) de forma geométrica ) es $$C(t)=C_0\cdot (1+i)^t$$ Podemos generalizar, ahora, esta fórmula, para $C_0 \neq 1$ y $f \succ 1$ escribiendo la expresión general $$C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Cabe apuntar aquí que $\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ es creciente con $f$.

Tasa Anual Equivalente ( TAE ):
En el caso general ( $f \succ 1$ ) se utiliza la denominada Tasa Anual Equivalente, muy útil para comparar productos bancarios, al objeto de poder tomar una decisión a la hora de contratar uno u otro. Se basa en lo siguiente: en $1$ año, el capital final ( al cabo de ese año ) que se obtiene, pongamos que con $C_0=1$ ( es irrelevante el valor de $C_0$ ), en términos de esta tasa equivalente, ha de ser igual a $$1+\text{TAE}$$ y, por otra parte, según lo dicho arriba, ha de contabilizarse como $$\left(1+\frac{i}{f}\right)^{1\cdot f}$$ luego $$1+\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}$$ y por tanto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}-1$$

NOTA: Evidentemente, en el caso de que $f$ sea igual a $1$ ( liquidación con período de $1$ año de los intereses que se van generando ) tendremos que $\text{TAE}=i$, como debe ser.

$\square$

[autoría]

Deducción de la fórmula de amortización.

Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al final de cada período )
$C$: capital prestado
$t$: número de años del plan de amortización
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $f=1$. Entonces:

la primera cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-3}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1$

Luego el capital total producido en estas condiciones es $$q\cdot \left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-2}+(1+i)^{t-1}\right)$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1$, luego el valor de dicha suma es $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)-1}$$ expresión que, simplificada, queda $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{i}$$ por otra parte la cantidad prestada, en los $t$ años, produce $$C\cdot(1+i)^t$$ que debe ser igual a la cantidad que proviene de la suma anterior, luego $$q\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^{t}-1}{i}=C\cdot(1+i)^t$$

Así, si, ahora, consideramos que ( en general ) $f \succ 1$ llegamos a la siguiente generalización de la fórmula anterior $$q\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}{\frac{i}{f}}=C\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Despejando $q$ ( cuota a pagar ) obtenemos $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$

$\square$

[autoría]

Plan de capitalización

Deducción de la fórmula de capitalización.

Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al principio de cada período )
$C$: capital a constituir
$t$: número de años del plan
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $C=1$, y que $f=1$. Entonces:

la primera cuota produce: $(1+i)^t$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1+i$

Luego el capital total, $C$, producido en estas condiciones es $$(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-1}+(1+i)^{t}$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1+i$, luego el valor de dicha suma es $$(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ Así, si, ahora, consideramos que $C \neq 1$ ( y, por supuesto, mayor que cero ), obtenemos $$q\cdot(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ y si $f \succ 1$ llegamos a la generalización de la fórmula anterior $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y por tanto $$q=C\cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{\left( \left(1+\frac{1}{f}\right)^{f\cdot t}-1\right)\cdot (1+\frac{i}{f})}$$

$\square$

[autoría]

Intervalos en la recta de los números reales

ENUNCIADO. Resolver la inecuación $$|5x-2|\ge 4$$

SOLUCIÓN.
$|5x-2| \ge 4 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
5x-2 \prec 4 & &\text{si} & 5x-2 \succ 0 &&& (1)\\
\\
\text{ó} \\
\\
0 \ge 4 &(!)& \text{si} & 5x-2 = 0 &&& (2)\\
\\
\text{ó} \\
\\
-(5x-2) \ge 4 && \text{si} & 5x-2 \prec 0 &&& (3)\\
\end{matrix}\right.$

De (2), simplemente deducimos que $\dfrac{2}{5}$ ( que es la solución de $5x-2 = 0$ ) no forma parte de la solución, pues, evidentemente $0$ no es mayor o igual que $4$.

De (1) deducimos que $x \ge \dfrac{6}{5}$; y, de (3) vemos que $x \le -\dfrac{2}{5}$. Por lo tanto, la solución es $$(-\infty\,,\,-\dfrac{2}{5}] \cup [\dfrac{6}{5}\,,\,+\infty)$$
$\square$

[autoría]

Determinar el intervalo de error

ENUNCIADO. Un depósito esférico tiene una capacidad de $95\,000 \pm 5000 \; \text{L}$. Calcular el intervalo de error en el que se encuentra el valor del radio ( interior de las paredes ) del depósito.

SOLUCIÓN. Recordemos que el volumen de una esfera de radio $r$ se calcula mediante la fórmula $$V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$$, de donde, conocido el volumen, podemos determinar el valor del radio despejándolo de la igualdad anterior $$r=\sqrt[3]{\dfrac{3\,V}{4\,\pi}}$$ El extremo superior del intervalo de error del volumen es $95\,000+5000=100\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo superior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 100\,000 }{4\,\pi}} \approx 29,8\;\text{dm} = 298\;\text{cm}$$

El extremo inferior del intervalo de error del volumen es $95\,000-5000=90\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo inferior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 90\,000 }{4\,\pi}} \approx 27,8\;\text{dm}=278\;\text{cm}$$

Así, pues, el intervalo (en la recta numérica de los números reales) de error del radio $r$ ( expresado en centímetros ) es $$(278\,,\,298)$$ y el centro del mismo es $$\bar{r}=\dfrac{278+298}{2}=288\;\text{cm}$$.

NOTA. Teniendo en cuenta, ahora, que la semi-amplitud del intervalo es $\dfrac{298-278}{2}=10\;\text{cm}$, podemos expresar que el valor del radio, $r$, es igual a $$288 \pm 10 \; \text{cm}$$

$\square$

[autoría]

Estudiar y resolver

ENUNCIADO. Estudiar y, si procede, resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&0 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema de ecuaciones por Gauss ( obtener un escalonamiento de $0$s pivotando en el primer término de la tercera ecuacion ).

Para cubrir la primera etapa, podemos hacerlo mediante estas dos combinaciones lineales entre ecuaciones: $-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2$ y $-2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3$; así obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&y&-&6\,z=&-6 \\
\end{matrix}\right\}$$ Procedemos ahora a llevar a cabo la segunda etapa del escalonamiento, mediante la combinación $3\,e_3+e_2 \rightarrow e_2$, obteniendo el sistema ya escalonado $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&&&-14\,z=&-20 \\
\end{matrix}\right\}$$ Es evidente que el sistema es compatible, pues no hay ninguna contradicción en las igualdades ( ecuaciones ) del sistema reducido ( equivalente al original ); además, al tener $3$ ecuaciones independientes ( linealmente ) -- $3$ ecuaciones identicamente no-nulas --, y ser este valor del rango al número de variables ( incógnitas ), el sistema es ( compatible ) determinado: como solución del sistema, habrá un sólo valor para cada incógnita. Simplificando un poco para facilitar el despeje: $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&&3\,y&-&4\,z=&2 \\
&&&&7\,z=&10 \\
\end{matrix}\right\}$$ Despejando $z$ de la tercera ecuación $$z=\dfrac{10}{7}$$
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$
$$3y-4\cdot \dfrac{10}{7}=2 \Leftrightarrow y=\dfrac{18}{7}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación y despejando $x$ $$3\,x-3\cdot \dfrac{18}{7}+\dfrac{10}{7}=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{17}{7}$$

[autoría]

Determinar las raíces ...

ENUNCIADO. Encontrar las raíces ( reales ) del siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3$$

SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por los números $$\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0 \}$$ por lo que debemos resolver la ecuación $$x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3=0$$ que es bicuadrada, luego haciendo la transformación $t=x^2$, llegamos a $$t^2-2\,\sqrt{3}\,t+3=0$$ de donde $$t=\dfrac{-2\,\sqrt{3}\pm \sqrt{(-2\,\sqrt{3})^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\pm |\sqrt{3}|$$
Deshaciendo la transformación $$x=\sqrt{t}$$ por tanto si $t=-|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{-|\sqrt{3}|} \notin \mathbb{R}$; y, si $t=|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{|\sqrt{3}|}=\pm \,|\sqrt[4]{3}|$. Por tanto las raíces de $P(x)$ son $$\{- \,|\sqrt[4]{3}|\,,\,|\sqrt[4]{3}|\}$$
$\square$

[autoría]

Polinomios primos

ENUNCIADO. Escribir un polinomio primo de grado $4$

SOLUCIÓN. Un polinomio se dice primo si no tiene raíces ( reales ). Un polinomio de grado $4$ que no tiene raíces reales es, por ejemplo, $x^4+1$, ya que no existe ningún número real tal que al hacer su potencia cuarta ( al intentar encontrar las raíces de dicho polinomio: $x^4+1=0 \Leftrightarrow x^4=-1 \Leftrightarrow x=\sqrt[4]{-1}$ ) dé como resultado $-1$.
$\square$

[autoría]

Calcular el logaritmo ( expresándolo en función de logaritmos con base estándar: $10$ o bien $e$ )

ENUNCIADO. Calcular con cuatro cifras decimales significativas ( $4$ c.d.s. ) $$\log_{3}\,4$$

SOLUCIÓN. Vamos a expresar dicho logaritmo en términos de logaritmos de base $e$ para poder utilizar la tecla de función "logaritmo neperiano" de la calculadora científica ( lo mismo podríamos hacer, si decidiésemos expresarlo en términos de logaritmos de base $10$ o logaritmos de Briggs ); para ello, designamos la cantidad pedida de la forma $$t:=\log_{3}\,4$$ con lo cual, por la propiedad de reciprocidad $$4=3^t$$ Sacando logaritmos neperianos en cada miembro $$\ln\,4=t\,\ln\,3$$ y despejando $t$ $$t=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}$$ esto es $$\log_{3}\,4=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}$$ y empleando ahora la calculadora encontramos $$\log_{3}\,4 \approx 1,2619 \; \text{( 4 c.d.s)}$$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación logarítmica

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\log_{10}\,(2-5\,x)=1$$

SOLUCIÓN. Por la propiedad de reciprocidad entre logaritmos y exponenciales $$\log_{10}\,(2-5\,x)=1 \Leftrightarrow 10^1=2-5x \Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{5}$$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{1}{3-x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. Podemos expresar la ecuación de la forma $$\dfrac{-1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$ El mínimo común múltiplo de los polinomios que aparecen en los denominadores de las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación es $\text{m.c.m}(x-3\,,\,x^2-9)=(x-3)(x+3)$, pues $x^2-9=(x-3)8x+3)$, luego multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo llegaremos a una ecuación equivalente con términos polinómicos $$\dfrac{(-1)(x-3)(x+3)}{x-3}-\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x+3}=\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x^2-9}$$ simplificando $$-(x+3)-(x-3)=1$$ luego $$-2x=1$$ y, por tanto, $$x=-\dfrac{1}{2}$$ $\square$

[autoría]

Hemos aproximado el número $e$ por $2,71$ ...

ENUNCIADO. Hemos aproximado ( por truncamiento ) el número irracional $e$ ( base de los logaritmos neperianos ) por el número $2,71$. Calcular el error absoluto, $E$, y el error relativo $\epsilon$. Dar una cota del error absoluto, $\Delta$, y una cota del error relativo $\varepsilon$.

SOLUCIÓN.
$E=|e-2,71|\approx |2,71828-2,71|=0,0083 \prec 0,01$, luego $\Delta:=0,01$

$e=\dfrac{E}{e}\approx \dfrac{0,0083}{2,71828} \approx 0,0031 \prec 0,004$, luego $\varepsilon:=0,004 = 0,4\,\%$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación con radicales ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=1$$

SOLUCIÓN.

$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=1$

  $\sqrt{x+4}=1+\sqrt{x-1}$

    $(\sqrt{x+4})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$

      $x+4=1+2\,\sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$

        $x+4=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$

          $4=2\,\sqrt{x-1}$

            $2=\sqrt{x-1}$

              $2^2=(\sqrt{x-1})^2$

              $4=x-1$

                $x=5$

$\square$

[autoría]

Expresar en factores el polinomio ...

ENUNCIADO. Factorizar el siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,x^2-3\,x-2$$

SOLUCIÓN. Los números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son los divisores del término independiente $$\text{div}(-2)=\{\pm1\,,\,\pm2\}$$ Veamos si lo son o no. Empezamos probando el valor $1$, dividiendo por $x-1$. Por el teorema del resto, $P(1) \neq 0$ ya que $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
1 & & 1 & 1 & -1 & -4\\
\hline & 1 & 1 & -1 & -4 & -6\neq 0\end{array}$$ por lo que $1$ no es raíz del polinomio.
Probemos ahora $-1$, dividiendo por $x-(-1)$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
-1 & & -1 & 1 & 1 & 2\\
\hline & 1 & -1 & -1 & -2 & 0\end{array}$$ luego $-1$ es una raíz. Veamos si tiene multiplicidad mayor que uno; para ello, volvemos a dividir ( el polinomio cociente $x^3-x^2-x-2$ de la primera división ) por $(x-(-1))$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
-1 & & -1 & 2 & -1\\
\hline & 1 & -2 & 1 & -3 \neq 0\end{array}$$ por lo que podemos afirmar que la multiplicidad de $-1$ es $1$.
Tenemos pues ya una raíz: $r_1=-1$, con multiplicidad $m_1=1$

A continuación, y de manera análoga a como acabamos de hacer, probemos el valor $2$ ( como posible raíz de $P(x)$, que también ha de serlo del $x^3-x^2-x-2$ ), dividiendo este polinomio por $x-2$ y observando si el resto de la división es cero, en cuyo caso ( por el teorema del resto ) $2$ será otra raíz de $P(x)$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
2 & & 2 & 2 & 2\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$ lo cual confirma ( el resto es cero ) que $2$ es otra raíz de $P(x)$. Observemos que el polinomio cociente de esta división es $x^2+x+1$, que es primo, pues no tiene raíces reales ( el discriminante de la ecuación $x^2+x+1=0$, que es la condición necesaria para encontrar raíces de dicho polinomio, es negativo ).

Recopilando lo realizado hasta aquí, y teniendo en cuenta el teorema de factorización, podemos escribir que la factorización pedida es $$P(x)=(x-(-1))(x-2)(x^2+x+1)$$ esto es $$P(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x+1)$$
$\square$

[autoría]

Resolver de forma aproximada ( gráfica )

ENUNCIADO
Resolver la siguiente ecuación trascendente empleando alguna herramienta gráfica
$$\dfrac{1}{3^x}-x=0$$

SOLUCIÓN. Arreglemos, primero, la ecuación de forma conveniente $$3^{-x}=x$$ Así, podemos considerar la incidencia de las gráficas de las funcones $f(x)=3^{-x}$ y $g(x)=x$. Empleando GeoGebra ( o incluso dibujando en papel milimetrado ) y representando ambas gráficas en un mismo diagrama cartesiano observamos lo siguiente

con lo cual podemos afirmar que la ecuación pedida sólo tiene un valor como solución, pues hay un único punto de intersección. Dicho valor es $x \approx 0,55$ ( con dos cifras decimales significativas ).

$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\sqrt{2x-1}-x=-3$$

SOLUCIÓN.
$\sqrt{2x-1}-x=-3$
  $\sqrt{2x-1}=x-3$
    $(\sqrt{2x-1})^2=(x-3)^2$
      $2x-1=x^2-6x+9$
        $0=x^2-8x+10$
          $x=\dfrac{-(-8)\pm\,\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}=\dfrac{8\pm\,2\sqrt{6}}{2}=4\pm \sqrt{6}$
$\square$

[autoría]

Cálculo con logaritmos

ENUNCIADO. Obtener ( con ayuda de la calculadora científica ) el valor de $\log_{0,01}\,3$ y expresarlo con cuatro cifras decimales significativas.

SOLUCIÓN. Para obtener el resultado pedido debemos cambiar la base logarítimica para, así, poder utilizar o bien la función pre-definida de la calculadora que se refiere a logaritmos decimales, $\log$, o bien a la función pre-definida que corresponde a los logaritmos neperianos, $\ln$; en cualquiera de estos dos casos obtendremos el mismo resultado, como debe ser.

Sea $t:=\log_{0,01}\,3$, entonces $3=0,01^t$. Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de esta igualdad $$\ln\,3=t\,\ln\,0,01$$ despejando $t$ $$t=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,0,01} \overset{\text{calculadora}}{\approx} -0,2386 \; \text{4 c.d.s.}$$

Nota: Como ya hemos comentado, también podemos decidirnos por los logaritmos decimales, $$\log\,3=t\,\log\,0,01$$ despejando $t$ $$t=\dfrac{\log\,3}{\log\,0,01}=\dfrac{\log\,3}{-2} \overset{\text{calculadora}}{\approx} -0,2386 \; \text{4 c.d.s.}$$

$\square$

[autoría]

Simplificar y multiplicar las fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Simplificar la siguientes fracciones algebraicas y, a continuación, realizar el producto de ambas
$$A(x)=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}$$

$$B(x)=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+\dfrac{1}{x}}}$$

SOLUCIÓN.
$A(x)=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x+1}{x}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{x+1}}=$

  $=1+\dfrac{1}{\dfrac{2x+1}{x+1}}=1+\dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{2x+1+x+1}{2x+1}=\dfrac{3x+2}{2x+1}$


$B(x)=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+\dfrac{1}{x}}}=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{\dfrac{x+1}{x}}}=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x^2}{x+1}}=$

  $=1+\dfrac{x}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}=1+\dfrac{x\,(x+1)}{x^2+x+1}=\dfrac{(x^2+x+1)+(x^2+x)}{x^2+x+1}=$

    $=\dfrac{2\,x^2+2\,x+1}{x^2+x+1}$

Entonces, $$A(x) \cdot B(x) = \dfrac{3x+2}{2x+1} \cdot \dfrac{2\,x^2+2\,x+1}{x^2+x+1}=$$ $$=\dfrac{(3x+2)(2\,x^2+2\,x+1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}=\dfrac{6\,x^3+10\,x^2+7\,x+2}{2\,x^3+3\,x^2+3\,x+1}$$

$\square$

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Hallar el intervalo de la recta numérica tal que ...

ENUNCIADO. Hallar el intervalo solución que corresponde a la inecuación $$|2x-7| \prec 1$$

SOLUCIÓN.
$|2x-7| \prec 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
2x-7 \prec 1 & \text{si} & 2x-7 \succ 0 &&& (1)\\
\\
\text{ó} \\
\\
0 \prec 1 & \text{si} & 2x-7 = 0 &&& (2)\\
\\
\text{ó} \\
\\
-(2x-7) \prec 1 & \text{si} & 2x-7 \prec 0 &&& (3)\\
\end{matrix}\right.$

De (2) no sacamos información. De (1) deducimos que $x \prec 4$; y, de (3) vemos que $x \succ 3$. Por lo tanto, la solución es $\{3 \prec x \prec 4 : x \in \mathbb{R}\}$, que en el lenguaje de intervalos podemos notar de la forma $(3\,,\,4) \subset \mathbb{R}$
$\square$

[autoría]

Teniendo en cuenta la precisión de los datos ...

ENUNCIADO. Teniendo en cuenta la precisión de los datos ( número de cifras significativas de los mismos ),realizar las siguientes operaciones dando el resultado con la precisión adecuada:
a) $25,35+7723,1+2,035-22,256$
b) $2,25 \cdot 1,237 - 230,40 \cdot 0,024 + 15,01 \cdot 23,11$

SOLUCIÓN.
Recordemos que: a ) en una operación donde sólo hay sumas ( o restas ) el número de cifras decimales significativas que se deben mostrar en el resultado es igual al número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menor precisión ( el que tenga el menor número de cifras decimales significativas ); y, b) en una operación en la que aparezcan multiplicaciones ( o divisiones ) -- además, quizás, de sumas o restas -- el número de cifras significativas del resultado deberá ser igual al número de cifras significativas del factor de menor precisión ( de menor número de cifras significativas ). Por tanto,

a) $25,35+7723,1+2,035-22,256=7728,229 \approx 7728,2$ (1 c.d.s.)
b) $2,25 \cdot 1,237 - 230,40 \cdot 0,024 + 15,01 \cdot 23,11 = 344,13475 \approx {\bf 34}0$ ( 2 c.s.)

$\square$

[autoría]

Realizar la operación y operar en notación científica

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación dando el resultado en notación científica: $$0,00025 \cdot 0,0032$$

SOLUCIÓN. $0,00025 \cdot 0,0032=2,5\cdot 10^{-4} \cdot 3,2 \cdot 10^{-3}=(2,5 \cdot 3,2 ) \cdot 10^{-4}\cdot 10^{-3}=$
      $=8\cdot 10^{-4+(-3)}=8\cdot 10^{-7}$
$\square$

[autoría]

Simplificación de expresiones con radicales

ENUNCIADO. Simplificar $$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{8}}}$$

SOLUCIÓN. $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{8}}}=\sqrt[2\cdot 3 \cdot 2 ]{8}=\sqrt[12]{2^3}=2^{\frac{3}{12}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}$
$\square$

[autoría]

Calcular los errores absoluto y relativo ...

ENUNCIADO. Calcular los errores absoluto y relativo cometidos al tomar como valor de $\dfrac{120}{11}$ la aproximación $10,91$

SOLUCIÓN.
Error absoluto: $E\overset{\text{(def)}}{=}|x-\bar{x}|$, siendo $x$ el valor exacto y $\bar{x}$
Error relativo: $e\overset{\text{(def)}}{=}\dfrac{E}{x}$
Entonces, $E=|\dfrac{120}{11}-10,91| \approx 9,09\cdot 10^{-4}$ y $e=\dfrac{9,09\cdot 10^{-4}}{\dfrac{120}{11}}=8,\bar{3} \cdot 10^{-5} \prec 8,4 \cdot 10^{-5} = 0,0084 \, \%$
$\square$

[autoría]

Un depósito de agua ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de prisma recto de base rectangular. Se ha construido tomando en cuenta las siguientes medidas de las aristas: $4,52 \pm 0,03 \, \text{m}$, $2,14 \pm 0,01 \, \text{m}$ y $7,82 \pm 0,04 \, \text{m}$.
¿ Podemos garantizar que en dicho depósito caben $77\,229$ litros de agua ?

SOLUCIÓN. Calculemos el extremo inferior del intervalo de error del volumen del prisma, que viene dado por $$(4,52-0,03)(2,14-0,01)(7,82-0,04)=74,41 \, \text{m}^3\, ( \text{con 4 c.s.)}$$ que corresponde a $74\,410 \, \text{L}$ de capacidad, y como la cantidad de agua pedida es mayor que dicho extremo inferior, $77\,229 \succ 74\,419$, no podemos garantizar que vaya a caber en el depósito. $\square$

[autoría]

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios

SOLUCIÓN. Descomponiendo los polinomios en factores ( polinómicos ) obtenemos:
$$P(x)=(x-1)(x+1)$$
$$Q(x)=(x+1)^2$$
$$R(x)=x+1$$
por consiguiente
$$\text{m.c.d}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=x+1$$
$$\text{m.c.m}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=(x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1$$
$\square$

[autoría]

Determinar el valor de m para que el resto de la división sea cero

SOLUCIÓN. Dividiendo por el método de Ruffini encontramos
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 8 & -20 & -24 & 16\,m\\
2 & & 4 & 24 & 8 & -32\\
\hline & 2 & 12 & 4 & -16 & 16\,(m-2)\end{array}$$
luego el resto es $0$ si $m=2$
$\square$

[autoría]

Realizar la siguiente división de polinomios

ENUNCIADO.

SOLUCIÓN. Utilizando la herramienta WIRIS ( aunque se recomienda hacerlo también "a mano" ) encontramos:

[autoría]

Determinar la solución de ...

ENUNCIADO. Determinar los números enteros que son solución de la ecuación $$\dfrac{x-1}{x^4-1}+1=\dfrac{1}{x^2-1}$$ ¿ Existe, además, alguna raíz no-entera como solución de dicha ecuación ?.

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir la ecuación. Como $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$, el mínimo común múltiplo de los denominadores es $x^4-1$. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por dicho mínimo común múltiplo y simplificando llegamos a la siguiente ecuación equivalente $$x-1+x^4-1=x^2+1=0$$ Agrupando y ordenando términos obtenemos la siguiente ecuación algebraica $$x^4-x^2+x-1=0$$ cuyas soluciones son las raíces del polinomio $P(x)=x^4-x^2+x-1$. Los únicos divisores del término independiente son $-1$ y $1$, y puede comprobarse que sólo el segundo es raíz ( entera ) de $P(x)$, esto es, $r=1$; por consiguiente el polinomio $x-1$ divide a $P(x)$; con lo cual, efectuando la división $P(x) \div (x-1)$ vemos que el polinomio cociente es $x^3+x^2+1$. Así, podemos escribir $P(x)$ como el producto $(x-1)(x^3+x^2+1)$. Veamos si $Q(x):=x^3+x^2+1$ tiene alguna otra raíz entera, pues de tenerla, también lo sería de $P(x)$; las únicos números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son, otra vez, $\pm 1$, pero ninguna de ellas lo es, pues $Q(1) \neq 0$ y $Q(-1) \neq 0$, como se puede comprobar fácilmente. Así pues, ya hemos dado respuesta a la primera pregunta: la única solución entera de la ecuación pedida es $x=1$.

Veamos, ahora, si hay alguna otra raíz no-entera. Es evidente que, de haberla, tampoco puede ser racional y no-entera, pues el coeficiente del término de mayor grado de $P(x)$ es $1$, luego con la raíz encontrada antes, $r=1$, hemos encontrado todas las posibles raíces racionales. Si hay otras raíces sólo pueden ser irracionales. Examinemos esto más a fondo. La regla de los signos de Descartes nos dice que $Q(x)=x^3+x^2+1$ no puede tener ninguna raíz positiva, pues en número de variaciones de signo en la secuencia de coeficientes $(1,1,0,1)$ es cero; ahora bien, como $Q(-x)=-x^3+x^2+1$, nos dice también dicha regla que, habiendo una variación de signo en los coeficientes de $Q(-x)$ ( es decir en la secuencia $(-1,1,0,1)$ dicho polinomio ha de tener una raíz negativa. Así que, por lo dicho antes, ésta ha de ser forzosamente un número irracional, con lo que damos respuesta a la segunda pregunta.

Nota: No se nos ha pedido su valor, sólo se nos ha pedido que se razonemos acerca de si existe o no; para hallar su valor, deberíamos utilizar la fórmula de resolución por radicales de un polinomio de grado tres ( que es complicada y no la estudiamos en este curso ) o bien recurrir a un método aproximado lo cual incluye la posibilidad de 'visualizar' dicha raíz con ayuda de un gráfico, lo cual sí es apropiado para este curso. La siguiente figura ( obtenida empleando el programa GeoGebra ) ilustra la gráfica de $Q(x)$ y la raíz irracional de la que estamos hablando y cuyo valor aproximado es $-1,47$.

$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$e^x \cdot 2^x=e^3$$

SOLUCIÓN. Como $2^x$ puede expresarse de la forma $e^{x\,\ln\,2}$ ( veamos que esto es así: Sea $t:=2^x$, sacando logaritmos, $\ln\,t=x\,\ln\,2 \Rightarrow t = e^{x\,\ln\,2}$ y por tanto $2^x$ es lo mismo que $e^{x\,\ln\,2}$ ) podemos escribir la ecuación pedida con todos las potencias de la misma base $$e^x \cdot e^{x\,\ln\,2} =e^3$$ jpor las propiedades de las potencias, lo podemos escribir así $$e^{x+x\,\ln\,2}=e^3$$ e igualando, necesariamente, los exponentes ( pues de otro modo no se puede cumplir la igualdad ) nos queda que $$x+x\,\ln\,2=3$$ de donde $$x\,(1+\ln\,2)=3$$ y despejando la variable $$x=\dfrac{3}{1+\ln\,2}$$
$\square$

[autoría]

Resolver ...

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\sqrt{x-1}$$

SOLUCIÓN. Elevando al cuadrado en cada miembro $$\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)^2=(\sqrt{x-1})^2$$ obtenemos la ecuación equivalente $$x+1-2\sqrt{x(x+1)}+x=x-1$$ agrupando y simplificando $$x+2=2\,\sqrt{x(x+1)}$$ Volviendo a elevar al cuadrado ambos miembros $$x+2=4\,x^2+4x$$ agrupando $$4\,x^2+3\,x-2=0$$ y por tanto $$x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-4\cdot (-2)\cdot 4}}{2 \cdot 4}=\dfrac{-3\pm \sqrt{41}}{8}$$
$\square$

[autoría]

Aproximar de forma que ...

ENUNCIADO. Aproximar el número $21,7289$ con un error menor que una milésima.

SOLUCIÓN. Denotemos por $\bar{x}$ el resultado de la aproximación pedida. Entonces $$|21,7289-\bar{x}|\prec 0,001 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
21,7289 - \bar{x} \prec 0,001 \\
\text{ó} \\
-(21,7289 - \bar{x})\prec 0,001 \\
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\bar{x} \succ 21,7289-0,001 \\
\text{ó} \\
\bar{x}\prec 21,7289+0,001 \\
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\bar{x} \succ 21,7279 \\
\text{ó} \\
\bar{x}\prec 21,7299 \\
\end{matrix}\right.$$
y por tanto concluimos que $\bar{x}$ puede tomar cualquier valor comprendido en el intervalo $(21'7279\,,\,21'7299)$
$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente ecuación

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $a^x=1$, siendo $a$ cualquier número real distinto de cero.

SOLUCIÓN. Como $1=a^0$, podemos escribir la ecuación pedida de la forma $$a^x=a^0$$ luego los exponentes deberán ser iguales, por tanto $$x=0$$
$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente ecuación logarítmica

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$\ln\,(x+1)=\ln\,(2\,x)$$

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1.
Como las bases de los logaritmos de ambos miembros son las mismas, los argumentos han de ser iguales $$x+1=2\,x $$ agrupando términos semejantes $$2\,x-x=1$$ y, por tanto, $$x=1$$

Procedimiento 2.
Agrupando en el primer miembro $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=0$$ y como $\ln\,1=0$ podemos escribir $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=\ln\,1$$ Por las propiedades de los logaritmos queda $$\ln\,\left(\dfrac{x+1}{2\,x}\right)=\ln\,1$$ luego deberá cumplirse que los argumentos de los logaritmos de los dos miembros sean iguales ( pues la base de estos es la misma ), con lo cual llegamos a $$\dfrac{x+1}{2\,x}=1$$ que podemos expresar de la forma $$x+1=2\,x $$ concluyendo que $$x=1$$


$\square$

[autoría]

¿ Cuántas cifras decimales son correctas en la aproximación .... ?

ENUNCIADO. Hemos aproximado el número $7,891654$ por $7,891$ ( por truncamiento, a partir de la cuarta cifra decimal ). ¿ Cuántas cifras ( de la parte decimal ) de $7,891$ son correctas ?

SOLUCIÓN. Recordemos que $n$ cifras de la parte decimal del resultado de una aproximación son correctas si el error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra considerada, esto es, si $E \prec \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$. Como $E=|7,891654-7,891|=0,000654 \prec 0,005 = \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-{\bf 2}} $ concluimos que, como $n=2$, sólo las dos primeras cifras de la parte decimal son correctas. $\square$

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Discutir y resolver ...

ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones dado por una única ecuación $$x-y+z=1$$

SOLUCIÓN. Como hay tres variables y el sistema consta de una sola ecuación, el sistema es compatible indeterminado, con $3-1=2$ variables secundarias. Elijamos tres de las variable como variables secundarias, pongamos que $y$ y $z$, denotándolas de la forma $\alpha:=y$ y $\beta:=z$, con lo cual podemos escribir $$x=1+\alpha-\beta$$ Como podemos dar valores arbitrarios ( infinitos valores ) a $\alpha$ y a $\beta$, describimos, pues, la solución como el conjunto de infinitas ternas de números reales dado por $$\{(1+\alpha-\beta,\alpha,\beta): \alpha,\beta \in \mathbb{R}\}$$ que interpretamos como puntos de un plano en el espacio tridimensional.

Nota: $\alpha$ y $\beta$ hacen el papel de parámetros en la estructura general de la solución. El que encontremos dos parámetros se corresponde con la noción ( geométrica ) de que un plano se entienda como un conjunto de puntos con dos grados de libertad, pues al imaginar que recorremos todos estos puntos podemos pensar que lo podemos hacer eligiendo dos direcciones básicas.
$\square$

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Clasificar y resolver ...

ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución )
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&+&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&-1\\
x&+&y&+&z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Observemos que de la primera ecuación y de la tercera ecuación se deduce que $0=1$, lo cual es absurdo, luego debemos concluir que el sistema es incompatible ( no tiene solución ), y hemos terminado.

Nota: Como cada una de las ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos esta situación ( de incidencia de tres planos), dos de los cuales son paralelos no-coincidentes en el espacio tridimensional.

$\square$

[autoría]

Clasificar y resolver ...

ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución )
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&0\\
x&+&2\,y&-&2\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Reduciendo el sistema por Gauss podremos saber cuál es el número de ecuaciones linealmente independientes ( es decir, el rango del sistema ). Para ello, realizamos las operaciones elementales ( combinaciones lineales ) entre ecuaciones que sean necesarias para escalonar el sistema.

Primer etapa:

las siguientes combinaciones lineales
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
$-2\,e_2 + e_1 \rightarrow e_2$
nos llevan a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

Segunda etapa:

Con la combinación lineal
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
obtenemos el escalonamiento de ceros deseado

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&{\bf 0}\cdot y&+&0 \cdot z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$


Contabilizando el número de ecuaciones ( de este sistema equivalente ) que son identicamente no-nulas, vemos que sólo son dos ( la primera y la segunda ), esto es, el rango del sistema, $r$, es $2$. Como estas dos ecuaciones son compatibles entre sí, el sistema es compatible ( tiene solución ); y, teniendo en cuenta que el número de incógnitas, $n$, que es $3$, es menor que el rango, concluimos que el sistema es compatible indeterminado ( ha de tener infinitas soluciones ). Veamos a continuación cómo están ligadas estas infinitas soluciones; para ello, debemos entender que de las $3$ incógnitas ( variables ), $n-r$ deben tomar el papel de variables secundarias, por lo que hay $3-2=1$ variable secundaria, cuyos valores en la solución los podremos elegir libremente; y, $r=2$ variables principales. Elijamos ahora una de las tres variables como secundaria ( da lo mismo cuál de ellas escogemos ): pongamos que $z$; y, para remarcar su carácter ( de variable secundaria ), la denotaremos por $\lambda$ ( es decir, designamos $z:=\lambda$ ). Hecho esto, escribamos el sistema de ecuaciones equivalente ( y reducido por Gauss ):

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&\lambda&=&1\\
&&3\,y&-&3\,\lambda&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

donde hemos ya prescindido de la última ecuación, que es trivial ( no aporta información alguna ). Trasladando al segundo miembro los términos que dependen de $\lambda$, llegamos a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&=&1+\lambda\\
&&3\,y&=&1+3\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$

Despejando ahora $y$ de la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{1}{3}+\lambda$$ y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos la forma que debe tener $x$ ( en función de $\lambda$ ) $$2\,x+\dfrac{1}{3}+\lambda=1+\lambda$$ es decir $$2\,x=1-\dfrac{1}{3}+\lambda-\lambda$$ simplificando y despejando $x$ del primer miembro $$x=\dfrac{1}{3}$$ con lo cual concluimos que la solución del sistema de ecuaciones son las infinitas ternas ( por ternas de números podemos entender puntos en el espacio tridimensional ) $$\{(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}+\lambda,\lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$

Nota: Como cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos la solución como los infinitos puntos de una recta ( que es el resultado de la intersección de los tres planos ). El que estos infinitos puntos alineados dependan de un parámetro, encaja con la noción de que una recta tiene un grado de libertad ( geométrica ).
$\square$

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Resolver la ecuación trascendente ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $x^{x^2-1}=x^3$

SOLUCIÓN. Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,(x^{x^2-1})=\ln\,(x^3)$$ y por las propiedades de los logaritmos $$(x^2-1)\,\ln\,x=3\,\ln\,x$$ agrupando en un sólo miembro $$(x^2-1)\,\ln\,x-3\,\ln\,x=0$$ y por la propiedad distributiva $$(\ln\,x)\, \left( (x^2-1)-3 \right)=0$$ esto es $$(\ln\,x) \left( x^2-4 \right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\ln\,x = 0 \Leftrightarrow x=1 & \\
\\
\text{ó}
\\
x^2-4 = 0 \Leftrightarrow x=\pm\,2 & \\
\end{matrix}\right.$$ encontrando, por tanto, tres valores como solución de dicha ecuación trascendente: $\{-2\,,\,1\,,\,2\}$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación ...

ENUNCIADO. Resolver al siguiente ecuación algebraica $$x^4-6x^2+8=0$$

SOLUCIÓN. Procedemos, encontrar las raíces del polinomio $$P(x)=x^4-6x^2+8$$
empezando con las posibles raíces enteras, que sólo podemos encontrarlas en el conjunto $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\}$, por estos los divisores del término independiente. Probando estos números ( empleando el teorema del resto o bien sustituyendo en la expresión del polinomio ) vemos que las únicas raíces enteras son $-2$ y $2$; en efecto, $P(-2)=0$ y $P(2)=0$, luego dos factores polinómicos de $P(x)$ son $(x-2)$ y $(x+2)$. Dividiendo ahora $P(x)$ entre $(x-2)(x+2)$ se obtiene como cociente el polinomio $x^2-2$, polinomio de segundo grados cuyas raíces son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$. No pueden haber más raíces del polinomio $P(x)$ ya que es de cuarto grado y hemos encontrado cuatro raíces. De todo esto podemos concluir que la solución pedida viene dado por el conjunto de números $$\{-\sqrt{2},\sqrt{2},-2,2\}$$
{\sc Comentario.} Otra forma en que podríamos haber resuelto la ecuación propuesta ( que es bicuadrada ) consistiría en hacer la trasformación $t:=x^2$, llegando a la ecuación $t^2-6t^2+8=0$; resolviéndola por el procedimiento habitual de las ecuaciones de segundo grado y, deshaciendo la transformación ( $x=\sqrt{t}$ ) con los dos valores encontrados para $t$, obteniendo las cuatro raíces. Sin embargo, cabe decir que no todas las ecuaciones de grado $4$ son bicuadradas y por tanto esto no constituye un procedimiento general.
$\square$

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Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo ...

ENUNCIADO:
Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo del número $\pi=3,14159 \ldots$ $$\pi \approx 3,1$$

SOLUCIÓN:
Al aproximar por redondeo hasta la cifra de las décimas ( $n=1$ ) y que todas las cifras del resultado ( la de las unidades y la de las décimas ) significativas sean correctas, debemos tomar una cota de error absoluto, $\Delta$, igual a $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$, que en nuestro caso es $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$. Por tanto, la cota de error relativo correspondiente es $\varepsilon = \dfrac{0,05}{3,1} \approx 0,016 \prec 0,02$; es decir, haciendo esta aproximación ( $\pi \approx 3,1$ ), podemos garantizar una precisión que caracterizamos con un error relativo del $2\,\%$

NOTA: Observemos que ya no podemos garantizar que al realizar la aproximación con una cifra significativa más ( manteniendo la misma cota de error absoluto ) ésta última cifra sea también correcta.

$\square$

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Resolver la siguiente inecuación

ENUNCIADO:
Encontrar el conjunto de números reales que cumplen la siguiente desigualdad $$(x-1)(x+1) \ge 1$$

SOLUCIÓN:
$$(x-1)(x+1) \ge 1 \Leftrightarrow x^2-1 \ge 1 \Leftrightarrow x^2 \ge 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le -|\sqrt{2}| \\ \text{ó} \\ x \ge |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$ luego el intervalo solución viene dado por la unión de las siguientes semirrectas $$S=(-\infty\,,\,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}\,,\,+\infty)$$ $\square$

Determinar el intervalo de la recta real que ...

ENUNCIADO:
Determinar el intervalo de la recta real que representa la solución de la siguiente inecuación $$| x+1 | \prec 2 $$

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, podemos escribir
$$ | x+1 | \prec 2 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
x+1 \prec 2 & \text{si} & x+1 \succ 0 && (1)\\
0 \prec 2 & \text{si} & x+1 = 0 && (2)\\
-(x+1) \prec 2 & \text{si} & x+1 \prec 0 && (3)\\
\end{matrix}\right.$$

Es claro que de (2) no extraemos información, pero sí de (1): $x + 1 \prec 2 \Leftrightarrow x \prec 1 $; y, también, de (3): $-(x+1) \prec 2 \Leftrightarrow x+1 \succ -2 \Leftrightarrow x \succ -3$. Así, pues, concluimos que el intervalo pedido es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$
-oOo-
Otra forma de resolver este problema es la siguiente. Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad $| x+1 | \prec 2 $, llegamos a $$(x+1)^2 \prec 4$$ El primer miembro de esta inecuación representa los valores de la función $f(x)=(x+1)^2$ ( su trazo en un diagrama cartesiano es una parábola cuyo vértice se encuentra una unidad a la izquierda del origen de coordenadas ), cuyos valores de función son positivos para todo $x$; como dichos valores de función deben ser menores que $4$ ( según la desigualdad que expresa la inecuación), procedemos a encontrar las abscisas críticas ( cuyas ordenadas tienen valor $4$ ): $$(x+1)^2=4 \Leftrightarrow (x+1)=\pm 2 \Leftrightarrow x=-1 \pm 2 = \left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-3 \\
\end{matrix}\right.$$

Entonces, todos los valores mayores que $-3$ y menores que $1$ satisfacen la condición pedida, luego el intervalo solución es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$.

$\square$

[autoría]

Se desea cortar un panel de madera ...

ENUNCIADO:
Se desea cortar un panel de madera, de forma cuadrada, de modo que su área sea de $10\,000 \pm 500 \; \text{cm}^2$. ¿ Qué margen de error debe tener la longitud del lado ?.

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que el lado $l$ del cuadrado es igual a $\sqrt{A}$, donde $A$ representa el área del mismo, vemos que el mayor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000+500} \approx 102 \, \text{cm}$, mientras que el menor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000-500} \approx 97 \, \text{cm}$; entonces el valor central del intervalo $(102\,,\,97)$ es $\dfrac{102+97}{2} \approx 100 \, \text{cm}$., y la amplitud de dicho intervalo ( de error o de incertidumbre ) es igual a $102-97$, luego la semi-amplitud del mismo es $\dfrac{102-97}{2} \approx 2 \, \text{cm}$. Así, pues, podemos decir que la longitud del lado ( cuando cortemos el panel ) debe ser igual a $100 \, \text{cm}$, con un margen de error ( o cota de error absoluto ) de $2\,\text{cm}$, cosa que también podemos expresar de la siguiente forma: $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
-oOo-Otra manera de resolver este problema es la siguiente. Como el área se calcula mediante un producto, $A=l\cdot l$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es: $\varepsilon_A = \varepsilon_l + \varepsilon_l$, esto es, $\varepsilon_A=2\,\varepsilon_l$. Teniendo en cuenta que $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{A}$, podemos escribir $\varepsilon_A=\dfrac{500}{10\,000} = 0,025$. Por otra parte, $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{l}$
y $l=\sqrt{A}$, luego $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{\sqrt{A}}$, con lo cual podemos escribir $0,025 = \dfrac{\Delta_l}{\sqrt{10\,000}} \Rightarrow \Delta_l = 0,025 \cdot 100 = 2,5 \approx 2$. De lo cual concluimos que $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
$\square$

[autoría]

Ejemplo de aplicación de la regla de Hondt para repartir un cierto número de escaños en función de los votos que han obtenido las coaliciones en unas elecciones

[nota del autor]

Correspondencias y funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

És molt important entendre què és i què no és una funció. Una funció és un tipus de correspondència entre conjunts numèrics que es caracteritza pel fet que cada element del conjunt inicial té una sola imatge (li correspon un sol element del conjunt final). Per bé que totes les funcions es poden expressar mitjançant una relació algèbrica entre les variables, això no és exclusiu de les funcions. Podem posar molts exemples de correspondències entre conjunts numèrics que no són funció.

Així, per exemple, aquesta gràfica (una espiral) està lligada a una correspondència entre dos conjunts numèrics que donen valors a les variables $x$ i $y$, però no està associat a una funció atès que qualsevol valor de la variable independent, $x$, té múltiples imatges.$\square$

Ecuaciones con logaritmos. Ecuaciones con exponenciales ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Trobeu els valors de les variables que satisfan el següent sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} \log{x} + \log{y} = 2\\ \\ 3\,\log{x} - \log{y} = 1\\ \end{matrix}\right\}$

Sumant, membre a membre, els termes de les dues equacions obtenim

$4\,\log{x}=3$

per tant

$x=10^{\frac{3}{4}}$

Per altra banda, multiplicant per $-3$ ambdós membres de la segona equació i, sumant - membre a membre - els termes de l'equació resultant amb els de la primera

$-4 \,\log{y}=-6+1$

és a dir

$4\,\log{y}=5$

d'on

$y=10^{\frac{5}{4}}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
$\log_{2}{x}=\log_{3}{4}$

Expressant els logaritmes en base comuna (canvi de base logarítmica)

$\frac{\ln{x}}{\ln{2}}=\frac{\ln{4}}{\ln{3}}$

per tant

$\ln{x}=\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}$

i, desfent el logaritme, trobem

$x=e^{\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}} \approx 2,3980 \; \; \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Trobeu els valors reals de $x$ que compleixen la igualtat

$2^{x^4+5x^2-36}=1$

El segon membre es pot posar de la forma $2^0$ i, per tant,

$2^{x^4+5x^2-36}=2^0$

Com que les bases de les potències de tots dos membres són iguals, els exponents també ho hauran de ser

$x^4+5x^2-36=0$

equació biquadrada que, fent el canvi de variable $x^2=t$, es transforma en una equació de 2n grau

$t^2+5t-36=0$

que té dos valors com a solució

$t_1=4$ i $t_2=-9$

i desfent, ara, el canvi de variable

obtenim dues solucions reals per a $x$ que venen de $t_1=4$

$x_1=2$ i $x_2=-2$

Observació: les dues solucions que provenen del valor negatiu $t$, $t=-9$ , són nombres complexos: $x_3=3\,i$ i $x_4=-3\,i$, però, d'acord amb el requeriment de l'enunciat - les solucions han de ser nombres reals -, els hem de negligir.

$\square$

[nota del autor]

Correlación entre dos variables. Tablas de doble entrada ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT
Per als 100 alumnes de primer cicle d'ESO d'un institut s'ha fet un estudi de les qualificacions de matemàtiques i de llengua. Les dades se'ns han donat així:
Superen les dues matèries: 64
No han superat les matemàtiques: 30
No han superat la llengua: 27
Creieu que les dades són coherents? Hi ha molta relació entre les notes de les dues àrees ?

SOLUCIÓ

Observant la taula, que omplim seguint l'ordre codificat en color a partir de les dades de l'enunciat, veiem que sí que hi ha coherència amb les dades (els totals parcials sumen el conjunt de 100 alumnes) i que hi ha molta relació entre les notes de les dues matèries perquè el nombre d'alumnes que suspenen/aproven una de les dues és proper al nombre d'alumnes que suspenen/aproven l'altra.

Observació:
És remarcable el fet que amb poques operacions aritmètiques (restes i sumes) podem posar en clar una correlació entre dues variables estadístiques. Les taules de doble entrada constitueixen una senzilla però eficaç eina a l'hora d'investigar possibles relacions.

$\square$

[nota del autor]

Números índice ... ( Articulo escrito en catalán )

L'índex de preus al consum és una variable macroeconòmica adimensional, com tots els nombres índex, i ve referit a una base de 100; per això és dóna en tant per cent, tot i que, naturalment es pot expressar en tant per u. L'IPC recull i compara els preus d'un conjunt de productes, béns i serveis al llarg del temps. Aquest índex s'obté per procediments estadístics a partir del mostreig de la població i, la seva anàlisi, permet diagnosticar una situació inflacionària o deflacionària. Per altra banda, el valor de l'índex en un determinat moment serveix per actualitzar el valor de les rendes i controlar els preus del béns de primera necessitat. L'estudi de l'IPC anual, i la publicació dels resultats per part del Instituto Nacional de Estadística es produeix durant el mes d'octubre. El següent exercici de càlcul mostra les nocions elementals de com es fan les ponderacions segons els diversos sectors de productes de consum, bén i serveis. Les ponderacions no corresponen a les que es fan servir actualment i les dades, tot i que es refereixen a anys anterior, no estan del tot contrastades. L'exercici s'ha d'entendre, per tant, com una simple tasca didàctica, pràcticament, una simulació: Observent les indicacions de la figura, També podeu veure com es calcula l'IPC de l'any en curs, a partir de l'increment anual dels seus component. L'última columna és especialment important perquè reflecteix la taxa de variació de l'IPC, en tant per cent (enguany, novembre de 2007, ha estat de 3,6%). Aquesta taxa de variació és molt útil a l'hora de calcular la revalorització dels productes de serveis i rendes, els preus de lloguer de la vivenda, etcètera. d'un mes d'un determinat any, al mateix mes del següent. Fa poc que l'INE va publicar l'informe sobre l'IPC anual (14 de novembre): la variació general de l'índex de preus al consum, prenent com a base l'índex de 2006 és de 3,6%. Aquesta informació serveix, entre altres coses, per fer càlculs de revalorització de rendes i preus. Considerem, per exemple, que el mes d'octubre de 2006 el valor d'una renda era de 600 € al mes. Quin serà el valor de la renda actualitzada l'octubre de 2007 ? font: Instituto Nacional de Estadística Primer que tot cal fer remarca que, ens interessa saber la variació anual de l'índex (+3,6%). Expressant la variació en tant per u, tenim que, d'acord amb el significat de la taxa de variació anual del nombre índex: Valor actualitzat de la renda = Valor inicial de la renda. (1 + taxa de variació anual de l'índex)     (entre els mateixos mesos) Així tenim que valor actualitzat de la renda = 600.(1+0,036) = 621,60 € O, si es vol, també es pot plantejar segons la mateixa definició de taxa de variació: 0,036 = (renda actualizada - 600)/600 D'aquí, trobem igualment que x = 621,60 € Val a dir que també podem calcular el varlor actualitzat si fem servir els nombres índex (cal disposar d'unes taules amb els valors dels índexs) enlloc de les taxes de variació d'aquests: Valor actualitzat de la renda = Valor inicial de la renda x (índex del mateix mes de 2007)/(índex d'un mes donat de 2006) Això és així per la següent raó: El valor de la taxa de variació en un interval dn es defineix de la forma dn=(xn-x0)/x0     (n=0,1,2,...) i, per tant, xn=x0(dn+1)     (1) per al pas n+1 tindrem xn+1=x0(dn+1+1)     (2) Ara bé, dn+1 no és més que el valor de l'índex en el pas n: in Per tant, (1) i (2) es poden reescriure així: xn=x0 in     (3) xn+1=x0 in+1     (4) Dividint (4) entre (3), membre a membre, obtenim: xn+1/xn = in+1/in I, d'aquí, xn+1 = xn. (in+1/in)

[nota del autor]

Tasa de variación ... ( Artículo escrito en catalán )

Donada una determinada variable estadística X que conté valors d'una sèrie temporal discrets, entenem per taxa de variació d'aquesta, una quantitat adimensional, una altra variable, els valors de la qual estan referits a un determinat valor de la variable X, que es prendrà com a base.

Així, podem definir la taxa de variació de la forma:
d_n=(x_n-x₀)/x₀     (n=0,1,2,...)

Una taxa de variació pot servir, per tant, per expressar la variació en el temps d'una magnitud, amb la finalitat de fer estudis de tipus estadístic o bé models d'evolució discrets. És habitual expressar els valors de la taxa en tant per cent, però també en tant per unitat o en la proporció adequada (tant per deu, tant per mil, ...).

A l'exemple que us comento a continuació, podeu veure una taula on s'expressa l'evolució dels preus de la gasolina des l'any 1977; el preu d'aquest any (37 unitats monetàries, de les antigues pessetes) es el valor que prendrem com a valor de referència. A l'última columna podem llegir els resultats del càlcul dels valors de l'índex anual que mostra l'evolució del preu d'aquest producte així com la manera de calcular-ho amb l'ajut d'un full de càlcul.

Suposem, ara, per tal d'ensenyar l'ús pràctic d'aquesta taxa, que no disposem de les dades dels preus de la gasolina (columna de color groc), llevat del preu de la mateixa l'any 1977 (37 unitats). Ens podríem plantejar la següent qüestió. Quin preu p correspon a l'any 1979 ?

Respondrem a la pregunta tenint en compte la definició donada més amunt. Com que el valor de la variació d'aquest per a l'any 1979 és de 0,2432 (en tant per u), podrem plantejar aquesta senzilla equació:

0,2432 = (p-37)/37
D'aquí, trobem fàcilment que p = 46 (arrodonint a la xifra de les unitats)

[nota del autor]